DT00 Determina per quali valori di \( k \) la retta di equazio- ne \( (k+1) x-(k+2) y+2=0 \) : a. passa per il punto \( P(-2,4) \); b. è parallela all'asse \( y ; \) c. è parallela alla retta di equazione \( 4 x+2 y-3=0 \); d. è perpendicolare all'asse \( y \); e. è perpendicolare alla retta di equazione \( x-5 y-3=0 \) \[ \left[\text { a. } k=-\frac{4}{3} ; \text { b. } k=-2 ; \text { c. } k=-\frac{5}{3} \text {; }\right. \] \( \qquad \) d. \( k=-1 ; \) e. \( \left.k=-\frac{11}{6}\right] \)

Rispondiamo punto per punto: a) La retta passa per il punto P(–2, 4) se, sostituendo x = –2 e y = 4 nell'equazione   (k + 1)x – (k + 2)y + 2 = 0, si ottiene   (k + 1)(–2) – (k + 2)(4) + 2 = 0     => –2k – 2 – 4k – 8 + 2 = 0     => –6k – 8 = 0     => –6k = 8     => k = –8/6 = –4/3. b) La retta è parallela all’asse y se è verticale, cioè se si può scrivere x = c (senza il termine in y). Osservando l’equazione   (k + 1)x – (k + 2)y + 2 = 0, per ottenere una retta verticale il coefficiente di y deve essere nullo:   –(k + 2) = 0  =>  k + 2 = 0  =>  k = –2. c) La retta è parallela alla retta di equazione 4x + 2y − 3 = 0 se hanno lo stesso coefficiente angolare. Mettiamo le rette in forma esplicita. Per la retta data, riscriviamo:   (k + 1)x – (k + 2)y + 2 = 0     => (k + 2)y = (k + 1)x + 2     => y = (k + 1)/(k + 2)x + 2/(k + 2). Quindi il coefficiente angolare è m₁ = (k + 1)/(k + 2). Per la retta 4x + 2y − 3 = 0, isoliamo y:   2y = −4x + 3     => y = −2x + 3/2. Il coefficiente angolare è m₂ = −2. Poniamo quindi m₁ = m₂:   (k + 1)/(k + 2) = −2 Moltiplichiamo entrambi i membri per (k + 2):   k + 1 = −2(k + 2)     => k + 1 = −2k − 4     => k + 2k = −4 − 1     => 3k = −5     => k = −5/3. d) La retta è perpendicolare all’asse y se è orizzontale, cioè se il coefficiente angolare è zero. Dal punto (c) sappiamo che il coefficiente angolare della nostra retta è m = (k + 1)/(k + 2). Affinché m = 0 occorre:   k + 1 = 0  =>  k = –1, a condizione che k + 2 ≠ 0 (che vale, in quanto –1 + 2 = 1 ≠ 0). e) La retta è perpendicolare alla retta di equazione x – 5y − 3 = 0. Per due rette perpendicolari il prodotto dei loro coefficienti angolari deve essere –1. Troviamo prima i coefficienti angolari. Per la retta data, già nota, abbiamo:   m₁ = (k + 1)/(k + 2). Per la retta x – 5y − 3 = 0, isoliamo y:   –5y = −x + 3     => y = (1/5)x − 3/5. Il coefficiente angolare è m₂ = 1/5. Condizione di perpendicularità:   m₁ · m₂ = –1  =>  [(k + 1)/(k + 2)] · (1/5) = –1. Moltiplichiamo entrambi i membri per 5:   (k + 1)/(k + 2) = –5. Procediamo a risolvere:   k + 1 = –5(k + 2)     => k + 1 = –5k – 10     => k + 5k = –10 – 1     => 6k = –11     => k = –11/6. Riassumendo:   a. k = –4/3   b. k = –2   c. k = –5/3   d. k = –1   e. k = –11/6