5. \( f(x)=\sqrt{x-3}, g(x)=\sqrt{x+4} \)

Vamos a analizar ambas funciones y sus composiciones. 1. Funciones dadas:   • f(x) = √(x – 3).    Esta función se define cuando el radicando es no negativo, es decir, x – 3 ≥ 0 → x ≥ 3.   • g(x) = √(x + 4).    Esta función se define cuando x + 4 ≥ 0 → x ≥ –4. 2. Composición f ∘ g:   Queremos f(g(x)) = √(g(x) – 3) = √(√(x + 4) – 3).   Condiciones para el dominio:   a) Primero, g(x) debe estar definida: x + 4 ≥ 0 → x ≥ –4.   b) Luego, el argumento de la raíz en f debe ser no negativo:    √(x + 4) – 3 ≥ 0 → √(x + 4) ≥ 3.    Elevando ambos lados al cuadrado (considerando que √(x + 4) es no negativo): x + 4 ≥ 9 → x ≥ 5.   Con ambas condiciones, el dominio de f ∘ g es x ≥ 5. 3. Composición g ∘ f:   Ahora, consideramos g(f(x)) = √(f(x) + 4) = √(√(x – 3) + 4).   Condiciones para el dominio:   a) Primero, f(x) se define cuando x – 3 ≥ 0 → x ≥ 3.   b) Luego, dentro de g debemos tener √(x – 3) + 4 ≥ 0.    Pero dado que √(x – 3) ≥ 0 para x ≥ 3, se cumple que √(x – 3) + 4 ≥ 4 > 0.   Por ello, el único requerimiento es x ≥ 3, y ese es el dominio de g ∘ f. Resumen: • f(x) = √(x – 3) tiene dominio x ≥ 3. • g(x) = √(x + 4) tiene dominio x ≥ –4. • La composición f ∘ g es:   f(g(x)) = √(√(x + 4) – 3) con dominio x ≥ 5. • La composición g ∘ f es:   g(f(x)) = √(√(x – 3) + 4) con dominio x ≥ 3.