Determine si las siguientes funciones son continuas en ar
a.
b.

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Mar 28,2025

Question

Determine si las siguientes funciones son continuas en ar a. $$ f(x)=\frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}+1}, a=1 $$ b. $$ f(x)=\left\{\begin{array}{r}x^{2}+2 x-4, x<1 \ 2 x-3, x \geq 1\end{array} \quad a=1ight. $$

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1. Para la función $$ f(x)=\frac{x^{2}-2x+1}{x^{2}+1} $$ en el punto $$ a=1 $$:

- **Paso 1:** Verificar que el denominador no se anule.  
     Se tiene $$ x^{2}+1>0 $$ para todo $$ x \in \mathbb{R} $$, por lo que la función está bien definida para todo $$ x $$.
     
   - **Paso 2:** Dado que tanto el numerador $$ x^{2}-2x+1 $$ como el denominador $$ x^{2}+1 $$ son polinomios, se sabe que estos son funciones continuas en $$ \mathbb{R} $$.  
     La división de dos funciones continuas es continua en aquellos puntos en que el denominador es distinto de cero.

- **Conclusión:**  
     Como $$ x^{2}+1\neq 0 $$ en $$ x=1 $$, la función es continua en $$ a=1 $$.

2. Para la función definida por partes
   $$
   f(x)=
   \begin{cases}
   x^{2}+2x-4, & x<1, \
   2x-3, & x\geq 1,
   \end{cases}
   $$
   en el punto $$ a=1 $$:

- **Paso 1:** Calcular el límite por la izquierda ($$ x\to1^- $$):  
     $$
     \lim_{x\to 1^-}f(x)=1^{2}+2(1)-4=1+2-4=-1.
     $$

- **Paso 2:** Calcular el límite por la derecha ($$ x\to1^+ $$):  
     $$
     \lim_{x\to 1^+}f(x)=2(1)-3=2-3=-1.
     $$

- **Paso 3:** Evaluar $$ f(1) $$:  
     Como $$ x=1 $$ está en la parte $$ x\geq1 $$, se tiene
     $$
     f(1)=2(1)-3=-1.
     $$

- **Conclusión:**  
     Los límites laterales y el valor de la función en $$ x=1 $$ son iguales ($$ -1 $$). Por lo tanto, $$ f(x) $$ es continua en $$ a=1 $$.
1. La función $$ f(x)=\frac{x^{2}-2x+1}{x^{2}+1} $$ es continua en $$ a=1 $$ porque el denominador nunca es cero y ambos polinomios son continuos. 2. La función definida por partes es continua en $$ a=1 $$ porque los límites laterales coinciden con el valor de la función en ese punto.

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