Answer
**Parte A**
1. **Derivabilidad en \( x=1 \):**
- La función \( f(x) \) no es derivable en \( x=1 \) porque la derivada por la izquierda (\( f'(1^-) = 1 \)) es diferente a la derivada por la derecha (\( f'(1^+) = 3 \)).
5. **Ecuación de la recta tangente a la inversa de \( f(x) \) en \( x=3 \):**
- La ecuación es \( y = \frac{1}{4}x + \frac{5}{4} \).
**Parte B**
1. **Estudio de \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \):**
- **Dominio:** Todos los números reales.
- **Simetría:** Función impar, simétrica respecto al origen.
- **Asíntotas:** Asíntota horizontal \( y = 0 \).
- **Máximo local en \( (1, \frac{1}{2}) \) y mínimo local en \( (-1, -\frac{1}{2}) \).
- **Concavidad:** Cambia en \( x = -\sqrt{3} \), \( x = 0 \) y \( x = \sqrt{3} \).
*Gráfica de la función:*
\[
\begin{array}{c}
\text{Gráfica de } f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \\
\includegraphics[width=10cm]{graph.png} \\
\end{array}
\]
*Nota: Para una representación precisa, se recomienda utilizar una herramienta gráfica.*
Solution
Claro, vamos a resolver cada uno de los problemas planteados paso a paso.
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## **Parte A**
### **1. Derivabilidad en \( x=1 \) de la función \( f(x) \)**
La función dada es:
\[
f(x) = \begin{cases}
x - 1 & \text{si } x \leq 1 \\
\frac{2x^2 - x - 1}{x} & \text{si } x > 1
\end{cases}
\]
**Paso 1: Comprobación de la continuidad en \( x=1 \)**
- **Límite por la izquierda (\( x \to 1^- \)):**
\[
\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 - 1 = 0
\]
- **Límite por la derecha (\( x \to 1^+ \)):**
\[
\lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{2(1)^2 - 1 - 1}{1} = \frac{2 - 1 - 1}{1} = 0
\]
- **Valor de la función en \( x=1 \):**
\[
f(1) = 1 - 1 = 0
\]
Como los límites laterales son iguales y coinciden con el valor de la función, \( f(x) \) es continua en \( x=1 \).
**Paso 2: Comprobación de la derivabilidad en \( x=1 \)**
- **Derivada por la izquierda (\( x \leq 1 \)):**
\[
f(x) = x - 1 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 1 \quad \Rightarrow \quad f'(1^-) = 1
\]
- **Derivada por la derecha (\( x > 1 \)):**
Simplificamos la función:
\[
f(x) = \frac{2x^2 - x - 1}{x} = 2x - 1 - \frac{1}{x}
\]
Derivando:
\[
f'(x) = 2 + \frac{1}{x^2}
\]
Evaluando en \( x=1 \):
\[
f'(1^+) = 2 + 1 = 3
\]
**Conclusión:**
Dado que:
\[
f'(1^-) = 1 \neq f'(1^+) = 3
\]
La función \( f(x) \) **no es derivable** en \( x=1 \).
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### **5. Ecuación de la recta tangente a la inversa de \( f(x) \) en el punto de abscisa 3**
**Datos proporcionados:**
\[
f(2) = 3 \quad \text{y} \quad f'(2) = 4
\]
**Paso 1: Encontrar el punto en la inversa.**
La inversa \( f^{-1}(x) \) cumple que:
\[
f^{-1}(3) = 2
\]
Por lo tanto, el punto de interés es \( (3, 2) \).
**Paso 2: Calcular la derivada de la inversa en \( x=3 \).**
La derivada de la función inversa está dada por:
\[
(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(x)\right)}
\]
Sustituyendo:
\[
(f^{-1})'(3) = \frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{4}
\]
**Paso 3: Escribir la ecuación de la recta tangente.**
Con pendiente \( m = \frac{1}{4} \) y que pasa por \( (3, 2) \):
\[
y - 2 = \frac{1}{4}(x - 3)
\]
Simplificando:
\[
y = \frac{1}{4}x + 2 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}x + \frac{5}{4}
\]
**Conclusión:**
La ecuación de la recta tangente a la inversa de \( f(x) \) en el punto de abscisa 3 es:
\[
y = \frac{1}{4}x + \frac{5}{4}
\]
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## **Parte B**
### **1. Estudio y gráfica de la función \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \)**
**Paso 1: Dominio y continuidad**
- **Dominio:** Todos los números reales, ya que el denominador \( x^2 + 1 > 0 \) para todo \( x \).
- **Continuidad:** La función es continua en \( \mathbb{R} \).
**Paso 2: Simetría**
- **Función impar:**
\[
f(-x) = \frac{-x}{x^2 + 1} = -f(x)
\]
Por lo tanto, la gráfica es simétrica respecto al origen.
**Paso 3: Asintotas**
- **Asintotas verticales:** Ninguna, ya que \( x^2 + 1 \neq 0 \) para todo \( x \).
- **Asintotas horizontales:**
\[
\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2 + 1} = 0
\]
Por lo tanto, la recta \( y = 0 \) (eje \( x \)) es una asíntota horizontal.
**Paso 4: Derivadas y puntos críticos**
- **Primera derivada:**
\[
f'(x) = \frac{(1)(x^2 + 1) - x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]
- **Puntos críticos:** Resolver \( f'(x) = 0 \)
\[
1 - x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1
\]
- **Valores en puntos críticos:**
\[
f(1) = \frac{1}{2}, \quad f(-1) = -\frac{1}{2}
\]
- **Análisis de la derivada:**
- Para \( x < -1 \), \( f'(x) < 0 \) ⇒ Función decrece.
- Para \( -1 < x < 1 \), \( f'(x) > 0 \) ⇒ Función crece.
- Para \( x > 1 \), \( f'(x) < 0 \) ⇒ Función decrece.
**Conclusión:**
- Máximo local en \( x=1 \), \( f(1) = \frac{1}{2} \).
- Mínimo local en \( x=-1 \), \( f(-1) = -\frac{1}{2} \).
- **Segunda derivada:**
\[
f''(x) = \frac{2x(x^2 - 3)}{(x^2 + 1)^3}
\]
- **Puntos de inflexión:** Resolver \( f''(x) = 0 \)
\[
2x(x^2 - 3) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0, \quad x = \pm \sqrt{3}
\]
- **Análisis de la segunda derivada:**
- **Para \( x < -\sqrt{3} \):** \( f''(x) < 0 \) ⇒ Concavidad hacia abajo.
- **Para \( -\sqrt{3} < x < 0 \):** \( f''(x) > 0 \) ⇒ Concavidad hacia arriba.
- **Para \( 0 < x < \sqrt{3} \):** \( f''(x) < 0 \) ⇒ Concavidad hacia abajo.
- **Para \( x > \sqrt{3} \):** \( f''(x) > 0 \) ⇒ Concavidad hacia arriba.
**Conclusión:**
- Puntos de inflexión en \( x = -\sqrt{3} \), \( x = 0 \) y \( x = \sqrt{3} \).
**Paso 5: Gráfica de la función**
Con la información obtenida:
- La función es continua y no posee asíntotas verticales.
- Es simétrica respecto al origen.
- Tiene un máximo local en \( (1, \frac{1}{2}) \) y un mínimo local en \( (-1, -\frac{1}{2}) \).
- Las asíntotas horizontales son las rectas \( y = 0 \).
- Los puntos de inflexión indican cambios en la concavidad.
**Bosquejo de la gráfica:**
\[
\begin{array}{c}
\text{Gráfica de } f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \\
\includegraphics[width=10cm]{graph.png} \\
\end{array}
\]
*Nota: Para una representación precisa, se recomienda utilizar una herramienta gráfica.*
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