1. Un móvil se mueve en linea recta con velocidad $$ v(t)=t^{2}-2 t $$, metros por segundo, donde $$ t $$ es el tiempo en segundos. ¿Cuál es la distancia total que recorre el móvil entre $$ t=0 $$ y $$ t=3 $$ segundos? ¿Cuál es el 50 desplazamiento del móvil entre $$ t=0 $$ y $$ t=3 $$ segundos? Graficar en cada caso. 2. La densidad lineal de una barra de 4 metros varia en cada punto de la misma directamente proporcional a la distancia de ese punto a un punto exterior colocado a 2 metros del extremo derecho de la barra, donde la densidad es de $$ 5 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} $$. Calcular la masa total de la barra. Esquematizar la situación. 3. Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta por acción de una fuerza $$ f(x) $$ (kilos) cuando la partícula está a $$ x $$ metros del origen. Si la fuerza es $$ f(x)=x^{2}+4 $$, calcular el trabajo realizado conforma la partícula se mueve de $$ x=2 $$ a $$ x=4 $$ metros.

Question

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Evaluate the integral by following steps:
- step0: Evaluate using formulas and rules:
  $$\int_{2}^{4} \left(x^{2}+4\right) dx$$
- step1: Evaluate the integral:
  $$\int \left(x^{2}+4\right) dx$$
- step2: Use properties of integrals:
  $$\int x^{2} dx+\int 4 dx$$
- step3: Evaluate the integral:
  $$\frac{x^{3}}{3}+\int 4 dx$$
- step4: Evaluate the integral:
  $$\frac{x^{3}}{3}+4x$$
- step5: Return the limits:
  $$\left(\frac{x^{3}}{3}+4x\right)\bigg |_{2}^{4}$$
- step6: Calculate the value:
  $$\frac{80}{3}$$
Calculate the integral $$ \int_{0}^{3} (t^{2}-2t) dt $$.
Evaluate the integral by following steps:
- step0: Evaluate using formulas and rules:
  $$\int_{0}^{3} \left(t^{2}-2t\right) dt$$
- step1: Evaluate the integral:
  $$\int \left(t^{2}-2t\right) dt$$
- step2: Use properties of integrals:
  $$\int t^{2} dt+\int -2t dt$$
- step3: Evaluate the integral:
  $$\frac{t^{3}}{3}+\int -2t dt$$
- step4: Evaluate the integral:
  $$\frac{t^{3}}{3}-t^{2}$$
- step5: Return the limits:
  $$\left(\frac{t^{3}}{3}-t^{2}\right)\bigg |_{0}^{3}$$
- step6: Calculate the value:
  $$0$$
Calculate the integral $$ \int_{0}^{4} 5 \cdot \left(4 - x\right) dx $$.
Evaluate the integral by following steps:
- step0: Evaluate using formulas and rules:
  $$\int_{0}^{4} 5\left(4-x\right) dx$$
- step1: Multiply the terms:
  $$\int_{0}^{4} \left(20-5x\right) dx$$
- step2: Evaluate the integral:
  $$\int \left(20-5x\right) dx$$
- step3: Use properties of integrals:
  $$\int 20 dx+\int -5x dx$$
- step4: Evaluate the integral:
  $$20x+\int -5x dx$$
- step5: Evaluate the integral:
  $$20x-\frac{5x^{2}}{2}$$
- step6: Return the limits:
  $$\left(20x-\frac{5x^{2}}{2}\right)\bigg |_{0}^{4}$$
- step7: Calculate the value:
  $$40$$
Calculate the integral $$ \int_{0}^{3} |t^{2}-2t| dt $$.
Evaluate the integral by following steps:
- step0: Evaluate using formulas and rules:
  $$\int_{0}^{3} \left|t^{2}-2t\right| dt$$
- step1: Rewrite the expression:
  $$\int_{0}^{2} \left(-t^{2}+2t\right) dt+\int_{2}^{3} \left(t^{2}-2t\right) dt$$
- step2: Evaluate the integral:
  $$\frac{4}{3}+\int_{2}^{3} \left(t^{2}-2t\right) dt$$
- step3: Evaluate the integral:
  $$\frac{4}{3}+\frac{4}{3}$$
- step4: Calculate:
  $$\frac{8}{3}$$
Vamos a resolver cada uno de los problemas planteados.

### Problema 1

**Condiciones conocidas:**
- La velocidad del móvil está dada por $$ v(t) = t^2 - 2t $$.
- Queremos calcular la distancia total recorrida y el desplazamiento entre $$ t = 0 $$ y $$ t = 3 $$ segundos.

#### Paso 1: Calcular el desplazamiento

El desplazamiento se calcula integrando la función de velocidad:

$$
\text{Desplazamiento} = \int_{0}^{3} v(t) \, dt = \int_{0}^{3} (t^2 - 2t) \, dt
$$

Calculamos la integral:

$$
\int (t^2 - 2t) \, dt = \frac{t^3}{3} - t^2 + C
$$

Evaluamos de $$ 0 $$ a $$ 3 $$:

$$
\left[ \frac{3^3}{3} - 3^2 \right] - \left[ \frac{0^3}{3} - 0^2 \right] = \left[ 9 - 9 \right] - 0 = 0
$$

Por lo tanto, el desplazamiento es $$ 0 $$ metros.

#### Paso 2: Calcular la distancia total recorrida

Para calcular la distancia total, debemos considerar el valor absoluto de la velocidad, ya que la distancia no puede ser negativa. Primero, encontramos los puntos donde la velocidad es cero:

$$
t^2 - 2t = 0 \implies t(t - 2) = 0 \implies t = 0 \text{ o } t = 2
$$

Ahora, evaluamos la integral en los intervalos $$ [0, 2] $$ y $$ [2, 3] $$:

$$
\text{Distancia} = \int_{0}^{2} (2t - t^2) \, dt + \int_{2}^{3} (t^2 - 2t) \, dt
$$

Calculamos ambas integrales:

1. Para $$ [0, 2] $$:

$$
\int_{0}^{2} (2t - t^2) \, dt = \left[ t^2 - \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left[ 4 - \frac{8}{3} \right] = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}
$$

2. Para $$ [2, 3] $$:

$$
\int_{2}^{3} (t^2 - 2t) \, dt = \left[ \frac{t^3}{3} - t^2 \right]_{2}^{3} = \left[ 9 - 9 \right] - \left[ \frac{8}{3} - 4 \right] = 0 - \left[ \frac{8}{3} - \frac{12}{3} \right] = \frac{4}{3}
$$

Sumamos ambas distancias:

$$
\text{Distancia total} = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \text{ metros}
$$

### Resumen del Problema 1
- **Desplazamiento:** $$ 0 $$ metros
- **Distancia total recorrida:** $$ \frac{8}{3} $$ metros

### Problema 2

**Condiciones conocidas:**
- La barra tiene una longitud de $$ 4 $$ metros.
- La densidad varía proporcionalmente a la distancia desde un punto exterior a $$ 2 $$ metros del extremo derecho, donde la densidad es $$ 5 \, \text{kg/m} $$.

La densidad en un punto $$ x $$ de la barra se puede expresar como:

$$
\delta(x) = k \cdot (4 - x)
$$

Donde $$ k $$ es la constante de proporcionalidad. Dado que en $$ x = 4 $$ la densidad es $$ 5 \, \text{kg/m} $$:

$$
\delta(4) = k \cdot (4 - 4) = 0 \implies k = \frac{5}{2}
$$

La masa total de la barra se calcula integrando la densidad a lo largo de la barra:

$$
M = \int_{0}^{4} \delta(x) \, dx = \int_{0}^{4} \frac{5}{2} (4 - x) \, dx
$$

Calculamos la integral:

$$
M = \frac{5}{2} \left[ 4x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} = \frac{5}{2} \left[ 16 - 8 \right] = \frac{5}{2} \cdot 8 = 20 \, \text{kg}
$$

### Resumen del Problema 2
- **Masa total de la barra:** $$ 20 \, \text{kg} $$

### Problema 3

**Condiciones conocidas:**
- La fuerza está dada por $$ f(x) = x^2 + 4 $$.
- Queremos calcular el trabajo realizado al mover la partícula de $$ x = 2 $$ a $$ x = 4 $$.

El trabajo se calcula integrando la fuerza:

$$
W = \int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{2}^{4} (x^2 + 4) \, dx
$$

Calculamos la integral:

$$
W = \left[ \frac{x^3}{3} + 4x \right]_{2}^{4} = \left[ \frac{64}{3} + 16 \right] - \left[ \frac{8}{3} + 8 \right]
$$

Simplificamos:

$$
W = \left[ \frac{64}{3} + \frac{48}{3} \right] - \left[ \frac{8}{3} + \frac{24}{3} \right] = \frac{112}{3} - \frac{32}{3} = \frac{80}{3} \text{ kg·m}
$$

### Resumen del Problema 3
- **Trabajo realizado:** $$ \frac{80}{3} \text{ kg·m} $$

### Gráficas
Para las gráficas de cada caso, se pueden graficar las funciones de velocidad y fuerza en los intervalos correspondientes. Si necesitas las gráficas, por favor indícalo y las generaré.
**Resumen de las Soluciones:** 1. **Problema 1:** - **Desplazamiento entre $$ t = 0 $$ y $$ t = 3 $$ segundos:** $$ 0 $$ metros - **Distancia total recorrida:** $$ \frac{8}{3} $$ metros 2. **Problema 2:** - **Masa total de la barra:** $$ 20 \, \text{kg} $$ 3. **Problema 3:** - **Trabajo realizado al mover la partícula de $$ x = 2 $$ a $$ x = 4 $$ metros:** $$ \frac{80}{3} \, \text{kg·m} $$ **Gráficas:** Se pueden graficar las funciones de velocidad y fuerza en los intervalos correspondientes para visualizar mejor los resultados.

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