Si se cumple que \( a^{2}+b^{2}=6 \& a b=3 \), entonces encuentra el valor de la siguiente expresión: \[ \begin{array}{l} 6 \vdots a^{2}+2 a b+b^{2} \vdots\left(a^{2}+b^{2}\right) \vdots(a b) \vdots(3) \vdots 12 \end{array} \]

Para abordar el problema, primero notamos que tenemos las ecuaciones \( a^2 + b^2 = 6 \) y \( ab = 3 \). Usando la identidad algebraica, podemos reescribir \( a^2 + 2ab + b^2 \): \[ a^2 + 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) + 2ab = 6 + 2 \cdot 3 = 6 + 6 = 12. \] Así, la expresión se convierte en: \[ 6 \vdots 12 \vdots (a^2 + b^2) \vdots (ab) \vdots 3 \vdots 12. \] Ahora, evaluamos la división \( 6 \vdots 12 \): \[ \frac{6}{12} = \frac{1}{2}. \] Dado que es más fácil tratar con enteros, en esta representación, hay que observar que si \( 12 = 12\), y, por lo tanto, la división se simplifica. A partir de aquí: \[ 12 \vdots (a^2 + b^2) = 12 \vdots 6 = 2, \] y \[ 6 \vdots 3 = 2. \] Con esto, la primera parte de nuestra expresión también se mantiene constante. Por lo tanto, la expresión final sigue multiplicándose dividiendo y manteniendo los mismos términos de manera continua hasta obtener un valor final: \[ \text{La expresión es igual a } 12. \] El resultado final de la expresión, manteniendo el análisis correcto de las series de divisiones, se convierte en: \[ \boxed{12}. \]