1.2 กราฟของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 2 สมการ ดังนี้ ให้ $$ a, b, c, d, e $$ และ $$ f $$ เป็นจำนวนจริงที่ $$ a, b $$ ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และ $$ c, d $$ ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน ดังนี้ $$ \begin{array}{ll}a x+b y & =e \ c x+d y & =f\end{array} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

$$
\textbf{ตัวอย่าง: การแสดงกราฟของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร}
$$

$$
\begin{array}{rcl}
(1) & \quad & ax+by=e \
(2) & \quad & cx+dy=f \
\end{array}
$$

$$
\textbf{ขั้นตอนที่ 1. แสดงแต่ละสมการในรูปแบบกราฟ}
$$

แต่ละสมการเชิงเส้นที่กำหนดจะมีกราฟเป็นเส้นตรงในระนาบ $$xy$$ ซึ่งสามารถแปลงให้อยู่ในรูป $$ y = mx + c $$ โดยมีความชัน $$ m $$ และจุดตัดแกน $$y$$ คือ $$ c $$

- ในสมการที่ (1) หาก $$ b \neq 0 $$ เราสามารถเขียนใหม่เป็น
  $$
  y=-\frac{a}{b}x+\frac{e}{b}.
  $$
  ดังนั้น ความชันของเส้นตรงนี้คือ $$ -\frac{a}{b} $$ และจุดตัดแกน $$y$$ คือ $$ \frac{e}{b} $$.

- ในสมการที่ (2) หาก $$ d \neq 0 $$ เราสามารถเขียนใหม่เป็น
  $$
  y=-\frac{c}{d}x+\frac{f}{d}.
  $$
  ดังนั้น ความชันของเส้นตรงนี้คือ $$ -\frac{c}{d} $$ และจุดตัดแกน $$y$$ คือ $$ \frac{f}{d} $$.

$$
\textbf{ขั้นตอนที่ 2. วิเคราะห์ความสัมพันธ์ของกราฟ}
$$

การแก้ระบบสมการโดยใช้กราฟ จะพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างเส้นกราฟของทั้งสองสมการ ดังนี้:

- $$\textbf{กรณีที่ 1: มีจุดตัดเดียว (วิธีการแก้แล้วได้คำตอบเดียว)}$$

ถ้าเส้นกราฟทั้งสองตัดกันที่จุดใดจุดหนึ่ง แปลว่าระบบมีคำตอบเดียว ซึ่งจุดตัดนั้นคือคำตอบของระบบสมการ

- $$\textbf{กรณีที่ 2: เส้นกราฟขนานกัน (ไม่มีคำตอบ)}$$

ถ้าเส้นกราฟทั้งสองมีความชันเท่ากัน แต่จุดตัดแกน $$y$$ ต่างกัน กล่าวคือ
  $$
  -\frac{a}{b} = -\frac{c}{d} \quad \text{แต่} \quad \frac{e}{b} \neq \frac{f}{d},
  $$
  แปลว่าทั้งสองเส้นขนานกันและไม่มีจุดตัดร่วมกัน จึงไม่มีคำตอบสำหรับระบบนี้

- $$\textbf{กรณีที่ 3: สมการทั้งสองแทนเส้นเดียวกัน (คำตอบไม่จำกัด)}$$

ถ้าเส้นกราฟทั้งสองทับกัน กล่าวคือมีความชันและจุดตัดแกน $$y$$ เท่ากัน ซึ่งมีเงื่อนไขว่า
  $$
  -\frac{a}{b} = -\frac{c}{d} \quad \text{และ} \quad \frac{e}{b} = \frac{f}{d},
  $$
  หรือเขียนในรูปสัดส่วน:
  $$
  \frac{a}{c} = \frac{b}{d} = \frac{e}{f},
  $$
  เมื่อสมการเป็นความเหมือนกัน จะเห็นว่าระบบมีคำตอบมากมายหรือคำตอบไม่จำกัด

$$
\textbf{ขั้นตอนที่ 3. การวาดกราฟในระนาบ $$xy$$}
$$

1. ระบุจุดตัดแกน $$y$$ จาก $$ y = -\frac{a}{b}x+\frac{e}{b} $$ โดยจุดตัดคือ $$ \left(0, \frac{e}{b}\right) $$.

2. หาค่าจุดตัดแกน $$x$$ โดยแทน $$ y = 0 $$ ในสมการที่ (1):
   $$
   ax+ b \cdot 0= e \quad \Rightarrow \quad x=\frac{e}{a},
   $$
   ซึ่งได้จุดตัดแกน $$x$$ คือ $$ \left(\frac{e}{a}, 0\right) $$.

3. ทำเช่นเดียวกันสำหรับสมการที่ (2) หาก $$d \neq 0$$:
   - จุดตัดแกน $$y$$ คือ $$ \left(0, \frac{f}{d}\right) $$
   - จุดตัดแกน $$x$$ คือ $$ \left(\frac{f}{c}, 0\right) $$ เมื่อ $$ c \neq 0 $$

4. วาดเส้นผ่านจุดเหล่านี้ตามความชันที่คำนวณได้

$$
\textbf{สรุป}
$$

ระบบสมการ

$$
\begin{array}{rcl}
ax+by &=& e, \
cx+dy &=& f,
\end{array}
$$

สามารถแสดงเป็นกราฟในระนาบ $$xy$$ โดยแต่ละสมการแทนด้วยเส้นตรง การหาจุดตัดระหว่างเส้นเหล่านี้จะบ่งชี้ถึงคำตอบของระบบ และตามความสัมพันธ์ของความชันและจุดตัด เราสามารถสรุปได้ว่า

- หากเส้นตัดกันที่จุดเดียว ระบบมีคำตอบเดียว
- หากเส้นขนานกัน ระบบไม่มีคำตอบ
- หากเส้นทับกัน ระบบมีคำตอบไม่จำกัด

เงื่อนไขนี้มีความสำคัญในการตรวจสอบความเป็นไปได้ของคำตอบในระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรนี้
ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรสามารถแสดงเป็นเส้นตรงในระนาบ $$xy$$ โดยแต่ละสมการแทนเส้นตรงที่มีความชันและจุดตัดแกน $$y$$ ที่แตกต่างกัน การวาดกราฟจะช่วยให้เห็นจุดตัดระหว่างเส้นตรงทั้งสอง ซึ่งบ่งบอกว่าระบบมีคำตอบเดียว, ไม่มีคำตอบ, หรือมีคำตอบไม่จำกัด ขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ของความชันและจุดตัดของเส้นตรงทั้งสอง

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Algebra Questions