1. En los siguientes incisos, hallen el área de la región limitada por las curvas dadas. vi) \( x+1=2(y-2)^{2} ; x+6 y=7 \) 2. Grafiquen la región limitada por: \( x y=2 ; 2 x=y ; x=2 y \). i)Para describir la región y calcular luego su área, les parece que ofrece alguna ventaja en este caso el considerar las curvas que conforman la frontera de la región como gráficas de funciones de \( x \) o de \( y \) ? ii) Describan analíticamente la región y calculen su área. 3. ¿Para qué valores de \( m \) la recta \( y=m x \) y la curva \( y=x^{3} \) definen una región? ¿Cuál es la expresión en función de \( m \) del área de dicha región?

Vamos a resolver cada inciso paso a paso. ### 1. Área de la región limitada por las curvas Las curvas dadas son: 1. \( x + 1 = 2(y - 2)^{2} \) 2. \( x + 6y = 7 \) Primero, reescribimos la primera ecuación para despejar \( x \): \[ x = 2(y - 2)^{2} - 1 \] Ahora, reescribimos la segunda ecuación para despejar \( x \): \[ x = 7 - 6y \] Ahora tenemos dos expresiones para \( x \): 1. \( x = 2(y - 2)^{2} - 1 \) 2. \( x = 7 - 6y \) Igualamos ambas expresiones para encontrar los puntos de intersección: \[ 2(y - 2)^{2} - 1 = 7 - 6y \] Resolviendo esta ecuación: \[ 2(y - 2)^{2} + 6y - 8 = 0 \] \[ (y - 2)^{2} + 3y - 4 = 0 \] Ahora, expandimos y simplificamos: \[ y^{2} - 4y + 4 + 3y - 4 = 0 \] \[ y^{2} - y = 0 \] \[ y(y - 1) = 0 \] Por lo tanto, \( y = 0 \) o \( y = 1 \). Ahora sustituimos estos valores de \( y \) en cualquiera de las ecuaciones para encontrar los valores correspondientes de \( x \). Para \( y = 0 \): \[ x = 7 - 6(0) = 7 \] Para \( y = 1 \): \[ x = 7 - 6(1) = 1 \] Los puntos de intersección son \( (7, 0) \) y \( (1, 1) \). Ahora, calculamos el área entre las curvas desde \( y = 0 \) hasta \( y = 1 \): \[ \text{Área} = \int_{0}^{1} \left( (7 - 6y) - (2(y - 2)^{2} - 1) \right) dy \] Simplificamos la integral: \[ = \int_{0}^{1} \left( 7 - 6y - 2(y^2 - 4y + 4) + 1 \right) dy \] \[ = \int_{0}^{1} \left( 8 - 6y - 2y^2 + 8y - 8 \right) dy \] \[ = \int_{0}^{1} \left( -2y^2 + 2y \right) dy \] Ahora calculamos la integral: \[ = \left[ -\frac{2}{3}y^3 + y^2 \right]_{0}^{1} \] \[ = \left( -\frac{2}{3}(1)^3 + (1)^2 \right) - \left( -\frac{2}{3}(0)^3 + (0)^2 \right) \] \[ = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3} \] Por lo tanto, el área de la región limitada por las curvas es \( \frac{1}{3} \). ### 2. Graficar la región limitada por \( xy = 2 \), \( 2x = y \), \( x = 2y \) #### i) Ventaja de considerar las curvas como funciones de \( x \) o \( y \) Para describir la región y calcular su área, puede ser ventajoso considerar las curvas como funciones de \( x \) o \( y \) dependiendo de la forma en que se intersectan y la facilidad para integrar. En este caso, es más fácil trabajar con \( y \) como función de \( x \). #### ii) Descripción analítica de la región y cálculo del área Las curvas son: 1. \( y = \frac{2}{x} \) (de \( xy = 2 \)) 2. \( y = 2x \) (de \( 2x = y \)) 3. \( y = \frac{x}{2} \) (de \( x = 2y \)) Encontramos los puntos de intersección: 1. Intersección de \( y = \frac{2}{x} \) y \( y = 2x \): \[ \frac{2}{x} = 2x \implies 2 = 2x^2 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ (solo positivo)} \] Sustituyendo \( x = 1 \): \[ y = 2(1) = 2 \] 2. Intersección de \( y = \frac{2}{x} \) y \( y = \frac{x}{2} \): \[ \frac{2}{x} = \frac{x}{2} \implies 4 = x^2 \implies x = 2 \text{ (solo positivo)} \] Sustituyendo \( x = 2 \): \[ y = \frac{2}{2} = 1 \] 3. Intersección de \( y = 2x \) y \( y = \frac{x}{2} \): \[ 2x = \frac{x}{2} \implies 4x = x \implies 3x = 0 \implies x = 0 \] Sustituyendo \( x = 0 \): \[ y = 0 \] Los puntos de intersección son \( (1, 2) \), \( (2, 1) \) y \( (0, 0) \). Ahora, calculamos el área de la región: \[ \text{Área} = \int_{0}^{1} \left( 2x - \frac{2}{x} \right) dx + \int_{1}^{2} \left( 2x - \frac{x}{2} \right) dx \] Calculamos cada integral por separado. 1. Para \( \int_{0}^{1} \left( 2x - \frac{2}{x} \right) dx \): \[ = \left[ x^2 - 2\ln|x| \right]_{0}^{1} = (1 - 2\ln(1)) - \lim_{x \to 0^+} (x^2 - 2\ln|x|) \] El límite de \( -2\ln|x| \) tiende a \( \infty \