7. Найдите значение выражения $$ 4 \sin ^{2} 18^{\circ}+2 \sin 18^{\circ}+2,5 $$ $$ \begin{array}{llll} ext { A) } 3 & ext { B) } 3,5 & ext { C) } 3.75 & ext { D) } 4\end{array} $$

Question

7. Найдите значение выражения $$ 4 \sin ^{2} 18^{\circ}+2 \sin 18^{\circ}+2,5 $$ $$ \begin{array}{llll}	ext { A) } 3 & 	ext { B) } 3,5 & 	ext { C) } 3.75 & 	ext { D) } 4\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

$$
\textbf{Шаг 1. Выразим } \sin 18^\circ \textbf{ через радикал:} \quad \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}.
$$

$$
\textbf{Шаг 2. Подставим в выражение:} \quad 4\sin^2 18^\circ + 2\sin 18^\circ + 2.5.
$$

Обозначим $$ s = \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4} $$. Тогда имеем:

$$
4s^2 + 2s + 2.5.
$$

$$
\textbf{Шаг 3. Найдем } s^2:
$$
$$
s^2 = \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2 = \frac{(\sqrt{5}-1)^2}{16}.
$$
Выпишем квадрат в числителе:
$$
(\sqrt{5}-1)^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5},
$$
поэтому
$$
s^2 = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{16} = \frac{3 - \sqrt{5}}{8}.
$$

$$
\textbf{Шаг 4. Подставим найденное значение в выражение:} 
$$
$$
4s^2 = 4\cdot\frac{3 - \sqrt{5}}{8} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2},
$$
$$
2s = 2\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}.
$$

$$
\textbf{Шаг 5. Сложим полученные части:}
$$
$$
4\sin^2 18^\circ + 2\sin 18^\circ + 2.5 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5}-1}{2} + 2.5.
$$

Объединим первые два дроби:
$$
\frac{3 - \sqrt{5} + \sqrt{5}-1}{2} = \frac{2}{2} = 1.
$$

Таким образом,
$$
1 + 2.5 = 3.5.
$$

$$
\textbf{Ответ: } 3.5 \quad (\text{вариант B}).
$$
The value of the expression $$ 4 \sin^{2} 18^\circ + 2 \sin 18^\circ + 2.5 $$ is **3.5**.

7. Найдите значение выражения \( 4 \sin ^{2} 18^{\circ}+2 \sin 18^{\circ}+2,5 \) \( \begin{array}{llll}\text { A) } 3 & \text { B) } 3,5 & \text { C) } 3.75 & \text { D) } 4\end{array} \)

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Trigonometry Questions