43. $$ \int_{0}^{\pi} f(x) d x \quad $$ donde $$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\operatorname{sen} x & ext { si } 0 \leqslant x

Question

43. $$ \int_{0}^{\pi} f(x) d x \quad $$ donde $$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\operatorname{sen} x & 	ext { si } 0 \leqslant x<\pi / 2 \ \cos x & 	ext { si } \pi / 2 \leqslant x \leqslant \pi\end{array}ight. $$

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Soit
$$
\int_{0}^{\pi} f(x) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x \, dx.
$$

1. Calcul de $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx$$ :

$$
   \int \sin x \, dx = -\cos x,
   $$
   donc,
   $$
   \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = \left[-\cos x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left[-\cos \frac{\pi}{2}\right] - \left[-\cos 0\right] = (0) - (-1) = 1.
   $$

2. Calcul de $$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x \, dx$$ :

$$
   \int \cos x \, dx = \sin x,
   $$
   donc,
   $$
   \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x \, dx = \left[\sin x\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \sin \pi - \sin \frac{\pi}{2} = 0 - 1 = -1.
   $$

En combinant les deux résultats, nous obtenons :

$$
\int_{0}^{\pi} f(x) \, dx = 1 + (-1) = 0.
$$

La valeur de l'intégrale est donc $$0$$.
L'intégrale de $$ f(x) $$ de 0 à $$ \pi $$ est égale à 0.

donde

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