25. Uma expressão equivalente a \( \frac{1+\cos 2 \theta}{\operatorname{sen} 2 \theta} \) é: \( \begin{array}{lll}\text { a) } \operatorname{sen} \theta & \text { b) } \cos \theta & \text { c) } \operatorname{tg} \theta \\ \text { d) } \frac{1}{\cos \theta} & \text { e) } \frac{1}{\operatorname{tg} \theta} & \end{array} \)

Para simplificar a expressão \( \frac{1+\cos 2 \theta}{\operatorname{sen} 2 \theta} \), podemos usar as identidades trigonométricas. Lembre-se de que \( \cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1 \) e \( \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta \). Assim, a expressão se torna: \[ \frac{1 + (2\cos^2 \theta - 1)}{2 \sin \theta \cos \theta} = \frac{2\cos^2 \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \cot \theta. \] Dentre as opções apresentadas, a alternativa correta é a letra e) \( \frac{1}{\operatorname{tg} \theta} \), já que \( \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} \). Agora, vamos explorar alguns pontos interessantes: Em muitas culturas antigas, a trigonometry não era apenas uma ferramenta matemática, mas também uma maneira de medir a Terra e fazer previsões astronômicas. Os babilônios, por exemplo, tinham uma excelente compreensão das relações trigonométricas e as aplicavam em suas construções e navegações! Além disso, a trigonometria é amplamente utilizada em jogos de vídeo game, animações e simulações para calcular ângulos e movimentos realistas. Por exemplo, sempre que um personagem salta ou um tiro é disparado, as fórmulas trigonométricas entram em cena para garantir que a ação flua da maneira natural e emocionante que os jogadores esperam. Isso mostra como a matemática está presente em nossa vida cotidiana!