6. Hallar las coordenadas del vértice, foco y la ecuación de la directriz para las parábolas. (a) $$ y^{2}=2 x $$ (b) $$ y^{2}=-x $$ (c) $$ y=4 x^{2} $$ (d) $$ y=-3 x^{2} $$

Question

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**(a) Para la parábola $$ y^{2}=2x $$:**

1. Escribimos la ecuación en la forma estándar $$ y^2=4px $$.  
   Comparando $$ 4p=2 $$, se tiene  
   $$
   p=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
   $$

2. Dado que la vértice de la ecuación $$ y^{2}=4px $$ es $$ (0,0) $$, tenemos:  
   - Vértice: $$ (0,0) $$.
   - Foco: $$ \left(p,0\right)=\left(\frac{1}{2},0\right) $$.
   - Directriz: la recta $$ x=-p $$, o sea,  
     $$
     x=-\frac{1}{2}.
     $$

---

**(b) Para la parábola $$ y^{2}=-x $$:**

1. Escribimos la ecuación en la forma $$ y^2=4px $$.  
   Aquí, $$ 4p=-1 $$ lo que implica  
   $$
   p=-\frac{1}{4}.
   $$

2. La vértice es $$ (0,0) $$.  
   - Vértice: $$ (0,0) $$.
   - Foco: $$ \left(p,0\right)=\left(-\frac{1}{4},0\right) $$.
   - Directriz: la recta $$ x=-p $$, es decir,  
     $$
     x=\frac{1}{4}.
     $$

---

**(c) Para la parábola $$ y=4x^{2} $$:**

1. Se reescribe la ecuación en la forma estándar para parábolas verticales:  
   $$
   (x-h)^2=4p(y-k),
   $$
   donde la vértice es $$ (h,k) $$. En este caso, $$ h=0 $$ y $$ k=0 $$.

2. Escribimos  
   $$
   y=\frac{1}{4p}x^2.
   $$
   Al comparar con $$ y=4x^2 $$ obtenemos  
   $$
   \frac{1}{4p}=4 \quad \Longrightarrow \quad 4p=\frac{1}{4} \quad \Longrightarrow \quad p=\frac{1}{16}.
   $$

3. Concluimos:  
   - Vértice: $$ (0,0) $$.
   - Foco: $$ (0,p)=\left(0,\frac{1}{16}\right) $$.
   - Directriz: la recta $$ y=-p $$, es decir,  
     $$
     y=-\frac{1}{16}.
     $$

---

**(d) Para la parábola $$ y=-3x^{2} $$:**

1. Nuevamente, usamos la forma estándar para parábolas verticales:  
   $$
   (x-h)^2=4p(y-k),
   $$
   con vértice $$ (0,0) $$.

2. Reescribimos $$ y=-3x^{2} $$ de manera que exprese $$ x^2 $$ en función de $$ y $$:  
   $$
   x^2=-\frac{1}{3}y.
   $$
   Comparando con $$ x^2=4p\,y $$ se tiene:  
   $$
   4p=-\frac{1}{3} \quad \Longrightarrow \quad p=-\frac{1}{12}.
   $$

3. Por lo tanto:  
   - Vértice: $$ (0,0) $$.
   - Foco: $$ (0,p)=\left(0,-\frac{1}{12}\right) $$.
   - Directriz: la recta $$ y=-p $$, o sea,  
     $$
     y=\frac{1}{12}.
     $$
**(a) $$ y^{2}=2x $$:** - Vértice: $$ (0,0) $$ - Foco: $$ \left(\frac{1}{2},0\right) $$ - Directriz: $$ x=-\frac{1}{2} $$ **(b) $$ y^{2}=-x $$:** - Vértice: $$ (0,0) $$ - Foco: $$ \left(-\frac{1}{4},0\right) $$ - Directriz: $$ x=\frac{1}{4} $$ **(c) $$ y=4x^{2} $$:** - Vértice: $$ (0,0) $$ - Foco: $$ \left(0,\frac{1}{16}\right) $$ - Directriz: $$ y=-\frac{1}{16} $$ **(d) $$ y=-3x^{2} $$:** - Vértice: $$ (0,0) $$ - Foco: $$ \left(0,-\frac{1}{12}\right) $$ - Directriz: $$ y=\frac{1}{12} $$

Hallar las coordenadas del vértice, foco y la ecuación de la directriz para las parábolas.
(a)
(b)
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