Use la forma polar de los números complejos dados para hacer las operaciones que se piden k) Para \( z=-3-2 i \) y \( w=-7 \) icalcule \( zw \).

Para resolver el problema, primero necesitamos convertir los números complejos \( z \) y \( w \) a su forma polar y luego realizar la multiplicación. 1. **Convertir \( z = -3 - 2i \) a forma polar:** - El módulo \( r \) de \( z \) se calcula como: \[ r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \] - El argumento \( \theta \) se calcula como: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{-2}{-3}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) \] Dado que \( z \) está en el tercer cuadrante, debemos ajustar el ángulo: \[ \theta = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) \] 2. **Convertir \( w = -7 \) a forma polar:** - El módulo \( r \) de \( w \) es: \[ r = 7 \] - El argumento \( \theta \) es: \[ \theta = \pi \] 3. **Multiplicar \( z \) y \( w \) en forma polar:** - La forma polar de \( z \) es \( r_z(\cos(\theta_z) + i\sin(\theta_z)) \) y la de \( w \) es \( r_w(\cos(\theta_w) + i\sin(\theta_w)) \). - La multiplicación de dos números complejos en forma polar se realiza como: \[ zw = r_z r_w \left( \cos(\theta_z + \theta_w) + i\sin(\theta_z + \theta_w) \right) \] Ahora, vamos a calcular \( zw \) usando los valores que hemos encontrado. Primero, calcularemos \( r_z \) y \( \theta_z \) y luego realizaremos la multiplicación. Voy a realizar los cálculos intermedios. Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\sqrt{13}\) Calculate or simplify the expression \( \arctan(2/3) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\arctan\left(\frac{2}{3}\right)\) Los cálculos intermedios son los siguientes: 1. El módulo de \( z \) es: \[ r_z = \sqrt{13} \approx 3.605551 \] 2. El argumento de \( z \) es: \[ \theta_z = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) \approx \pi + 0.588003 \approx 3.729596 \] 3. Para \( w \): - El módulo es: \[ r_w = 7 \] - El argumento es: \[ \theta_w = \pi \] Ahora, podemos calcular \( zw \) usando la fórmula de multiplicación en forma polar: \[ zw = r_z r_w \left( \cos(\theta_z + \theta_w) + i\sin(\theta_z + \theta_w) \right) \] Sustituyendo los valores: \[ zw = (3.605551)(7) \left( \cos(3.729596 + \pi) + i\sin(3.729596 + \pi) \right) \] Ahora, calcularemos \( r_z r_w \) y \( \theta_z + \theta_w \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(3.729596+\pi \) - step1: Simplify: \(6.871189\) Calculate or simplify the expression \( 3.605551 * 7 \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(3.605551\times 7\) - step1: Multiply the numbers: \(25.238857\) Los cálculos finales son los siguientes: 1. El módulo de \( zw \) es: \[ r_z r_w = 3.605551 \times 7 \approx 25.238857 \] 2. El argumento de \( zw \) es: \[ \theta_z + \theta_w \approx 6.871189 \] Ahora podemos expresar \( zw \) en forma polar: \[ zw \approx 25.238857 \left( \cos(6.871189) + i\sin(6.871189) \right) \] Finalmente, si se desea, podemos convertir esta forma polar de nuevo a la forma rectangular, pero la respuesta en forma polar es: \[ zw \approx 25.238857 \text{ (módulo) y } 6.871189 \text{ (argumento)} \]