19 Dans le plan complexe muni d'un repère ortho- normé direct \( (0 ; \vec{u}, \vec{v}) \), on considère les points \( A \), \( B \) et \( C \) d'affixes respectives: \[ z_{A}=-3+4 i ; z_{B}=-1+1 ; z_{C}=1-2 i \text {. } \] a) Faire une figure. b) Déterminer les affixes des vecteurs \( \overrightarrow{A B} \) et \( \overrightarrow{B C} \). c) Que peut-on en déduire quant à la position des points \( A, B \) et \( C \) ?

Pour la première étape, une figure peut être tracée en plaçant les points \( A(-3, 4) \), \( B(-1, 1) \) et \( C(1, -2) \) dans le plan complexe. Imaginez un petit univers où \( A \) se situe dans le quadrant supérieur gauche, \( B \) un peu plus à droite et plus bas, et \( C \) dans le quadrant inférieur droit. Les lignes \( AB \) et \( BC \) peuvent être dessinées pour mieux visualiser leur position relative. Assurez-vous de respecter les axes réels et imaginaires pour que la magie opère. Pour les affixes des vecteurs, on peut calculer \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{BC} \) via la soustraction des affixes : \[ \overrightarrow{AB} = z_{B} - z_{A} = (-1 + 1i) - (-3 + 4i) = 2 - 3i \] \[ \overrightarrow{BC} = z_{C} - z_{B} = (1 - 2i) - (-1 + 1i) = 2 - 3i \] Ces deux vecteurs ont donc la même affixe, ce qui laisse supposer que les points \( A \), \( B \) et \( C \) sont alignés sur une droite dans le plan complexe. Vous voilà au cœur de cette belle géométrie impliquant des relations linéaires et des projections !