Exercice 3 : Dans certaines conditions, le taux de croissance \( \tau \) d'une population microbienne est donné par l'expression : \( \tau=\left(\tau_{0} \mathrm{~S}\right) /(\mathrm{K}+\mathrm{S})^{2} \); où S est la concentration en chlorure de sodium \( (\mathrm{S}>0) \), \( \tau_{0} \) un taux de référence \( \left(\tau_{0}>0\right) \), supposé connu sans incertitude et K un paramétre caractérisant l'espéce microbienne étudiée \( (\mathrm{K}>0) \). Donner l'incertitude relative sur \( \tau \) en utilisant la différentiation logarithmique. Exercice 4 : L'énergie E d'un photon est donnée par l'expression \( \mathrm{E}=\hbar \omega \) où \( \hbar \) est la constante réduite de Planck et \( \omega \) une pulsation. 1) Donner la dimension de la constante réduite de Planck \( \hbar \) en déduire son unité dans le système international. 2) Par ailleurs, la force d'attraction F entre deux corps de masse \( \mathrm{m}_{1} \) et \( \mathrm{m}_{2} \) distants de r est \( \mathrm{F}=\mathrm{G} \frac{\mathrm{m}_{1} \cdot \mathrm{~m}_{2}}{\mathrm{r}^{2}} \) donner la dimension de la constante de gravitation universelle G . 3) Le temps de Planck \( \mathrm{t}_{p} \) est une unité du système d'unités naturelles dit système d'unités de Planck. Donner son expression sachant qu'elle est une fonction monôme de \( \hbar, \mathrm{G} \) et c la célérité de la lumière.

### Exercice 3 Pour déterminer l'incertitude relative sur \( \tau \) en utilisant la différentiation logarithmique, nous allons suivre les étapes suivantes : 1. **Écrire l'expression de \( \tau \)** : \[ \tau = \frac{\tau_{0} S}{(K + S)^{2}} \] 2. **Appliquer le logarithme naturel** : \[ \ln(\tau) = \ln(\tau_{0}) + \ln(S) - 2\ln(K + S) \] 3. **Différencier par rapport à \( S \)** : En utilisant la règle de la chaîne, nous avons : \[ \frac{d\tau}{\tau} = \frac{d\tau_{0}}{\tau_{0}} + \frac{dS}{S} - 2\frac{d(K + S)}{K + S} \] Comme \( \tau_{0} \) est constant, \( d\tau_{0} = 0 \), donc : \[ \frac{d\tau}{\tau} = \frac{dS}{S} - 2\frac{d(K + S)}{K + S} \] 4. **Calculer \( \frac{d(K + S)}{K + S} \)** : \[ \frac{d(K + S)}{K + S} = \frac{dS}{K + S} \] 5. **Substituer dans l'expression de \( \frac{d\tau}{\tau} \)** : \[ \frac{d\tau}{\tau} = \frac{dS}{S} - 2\frac{dS}{K + S} \] 6. **Facteur commun** : \[ \frac{d\tau}{\tau} = \left(1 - \frac{2S}{K + S}\right) \frac{dS}{S} \] 7. **Incertitude relative** : L'incertitude relative sur \( \tau \) est donc donnée par : \[ \frac{\Delta \tau}{\tau} = \left(1 - \frac{2S}{K + S}\right) \frac{\Delta S}{S} \] ### Exercice 4 1. **Dimension de la constante réduite de Planck \( \hbar \)** : L'énergie \( E \) d'un photon est donnée par \( E = \hbar \omega \). La dimension de l'énergie est \( [E] = [M][L^2][T^{-2}] \) et la dimension de la pulsation \( \omega \) est \( [\omega] = [T^{-1}] \). Donc, la dimension de \( \hbar \) est : \[ [\hbar] = \frac{[E]}{[\omega]} = \frac{[M][L^2][T^{-2}]}{[T^{-1}]} = [M][L^2][T^{-1}] \] Dans le système international, l'unité de \( \hbar \) est le joule-seconde (J·s). 2. **Dimension de la constante de gravitation universelle \( G \)** : La force \( F \) est donnée par \( F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \). La dimension de la force est \( [F] = [M][L][T^{-2}] \). Donc, la dimension de \( G \) est : \[ [G] = \frac{[F] \cdot [r^2]}{[m_1][m_2]} = \frac{[M][L][T^{-2}] \cdot [L^2]}{[M]^2} = [M^{-1}][L^3][T^{-2}] \] 3. **Expression du temps de Planck \( t_p \)** : Le temps de Planck est une fonction monôme de \( \hbar \), \( G \) et \( c \). On peut l'exprimer comme : \[ t_p = k \cdot \hbar^{a} G^{b} c^{c} \] Pour déterminer les exposants \( a \), \( b \), et \( c \), nous devons équilibrer les dimensions. En utilisant les dimensions de \( \hbar \), \( G \), et \( c \) : \[ [t] = [T] = [\hbar^a][G^b][c^c] \] En résolvant ce système d'équations, on obtient : \[ t_p = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}} \] C'est l'expression du temps de Planck.