Exercice 2: Une usine produit trois types d'ampoules: les défectueuses qui seront détruites (10\% de la production) et rapporteront donc 0 é, les ampoules haute performance vendues 3 e piéce au détaillant ( $$ 30 \% $$ de la production), le reste de la production étant vendu 1 € piéce au détailant. Soit $$ Y $$ la variable aléatoire égale au prix d'une ampoule prise au hasard dans la production. 1. Donner la loi de probabilité de $$ Y $$. 2. Déterminer l'espérance de $$ Y $$. En donner une interprétation. 3. Sachant que la production d'une ampoule revient à $$ 0,50 € $$, quel est le bénéfice moyen réalisé par le fabricant?

Question

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1. La loi de probabilité de $$ Y $$ est définie par :
   - $$ Y = 0 $$ avec $$ P(Y=0)=0.10 $$
   - $$ Y = 3 $$ avec $$ P(Y=3)=0.30 $$
   - $$ Y = 1 $$ avec $$ P(Y=1)=0.60 $$

2. L'espérance de $$ Y $$ est calculée par la formule :
   $$
   \mathbb{E}(Y) = \sum y \times P(Y=y)
   $$
   On a donc :
   $$
   \mathbb{E}(Y) = 0 \times 0.10 + 3 \times 0.30 + 1 \times 0.60 = 0 + 0.90 + 0.60 = 1.50\ \text{€}
   $$
   L'interprétation est que, en moyenne, la vente d'une ampoule rapporte $$ 1.50\ \text{€} $$.

3. Sachant que le coût de production d'une ampoule est $$ 0.50\ \text{€} $$, le bénéfice moyen réalisé par le fabricant par ampoule est :
   $$
   \text{Bénéfice moyen} = \mathbb{E}(Y) - 0.50 = 1.50 - 0.50 = 1.00\ \text{€}
   $$
1. La loi de probabilité de $$ Y $$ est : - $$ Y = 0 $$ avec une chance de 10% - $$ Y = 3 $$ avec une chance de 30% - $$ Y = 1 $$ avec une chance de 60% 2. L'espérance de $$ Y $$ est $$ 1.50\ \text{€} $$, ce qui signifie que, en moyenne, chaque ampoule rapporte $$ 1.50\ \text{€} $$. 3. Le bénéfice moyen par ampoule pour le fabricant est $$ 1.00\ \text{€} $$.

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