Resuelve cada expresión matemática. 83. \( \frac{2}{3}\left[3\left(\frac{4}{6}+\frac{1}{3}\right)-\frac{1(2-4)}{2}\right] \) 84. \( 4\left[\frac{3}{5}\left(\frac{4}{7}-\frac{3}{5}\right)-\left(\frac{5}{4}+\frac{2}{3}\right) \frac{3}{2}\right] \) 85. \( \frac{5}{12}\left(\frac{36}{15}\right)\left[\left.\left(\frac{5}{4}-\frac{9}{4}\right)-\left[\frac{3}{4}-\left(-\frac{5}{6}\right)-\frac{7}{4}\right] \right\rvert\,\right. \)

Claro, resolvamos cada una de las expresiones matemáticas paso a paso. --- **Número 83** \[ \frac{2}{3}\left[3\left(\frac{4}{6}+\frac{1}{3}\right)-\frac{1(2-4)}{2}\right] \] **Paso 1:** Simplificar dentro de los corchetes. 1. **Sumar las fracciones dentro del primer paréntesis:** \[ \frac{4}{6} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \] 2. **Calcular la segunda parte dentro de los corchetes:** \[ \frac{1(2-4)}{2} = \frac{1 \times (-2)}{2} = -\frac{2}{2} = -1 \] 3. **Sustituir y simplificar:** \[ 3 \times 1 - (-1) = 3 + 1 = 4 \] **Paso 2:** Multiplicar por \(\frac{2}{3}\): \[ \frac{2}{3} \times 4 = \frac{8}{3} \] **Respuesta:** El resultado de la expresión **83** es \(\frac{8}{3}\). --- **Número 84** \[ 4\left[\frac{3}{5}\left(\frac{4}{7}-\frac{3}{5}\right)-\left(\frac{5}{4}+\frac{2}{3}\right) \frac{3}{2}\right] \] **Paso 1:** Simplificar dentro de los corchetes. 1. **Restar las fracciones dentro del primer paréntesis:** \[ \frac{4}{7} - \frac{3}{5} = \frac{20}{35} - \frac{21}{35} = -\frac{1}{35} \] 2. **Multiplicar por \(\frac{3}{5}\):** \[ \frac{3}{5} \times \left(-\frac{1}{35}\right) = -\frac{3}{175} \] 3. **Sumar las fracciones dentro del segundo paréntesis:** \[ \frac{5}{4} + \frac{2}{3} = \frac{15}{12} + \frac{8}{12} = \frac{23}{12} \] 4. **Multiplicar por \(\frac{3}{2}\):** \[ \frac{23}{12} \times \frac{3}{2} = \frac{69}{24} = \frac{23}{8} \] 5. **Sustracción dentro de los corchetes:** \[ -\frac{3}{175} - \frac{23}{8} = -\frac{24}{1400} - \frac{4025}{1400} = -\frac{4049}{1400} \] **Paso 2:** Multiplicar por 4: \[ 4 \times \left(-\frac{4049}{1400}\right) = -\frac{16196}{1400} = -\frac{4049}{350} \] **Respuesta:** El resultado de la expresión **84** es \(-\frac{4049}{350}\). --- **Número 85** \[ \frac{5}{12}\left(\frac{36}{15}\right)\left[\left(\frac{5}{4}-\frac{9}{4}\right)-\left(\frac{3}{4}-\left(-\frac{5}{6}\right)-\frac{7}{4}\right)\right] \] **Paso 1:** Simplificar las operaciones dentro de los corchetes. 1. **Restar las fracciones en el primer paréntesis:** \[ \frac{5}{4} - \frac{9}{4} = -\frac{4}{4} = -1 \] 2. **Simplificar el segundo término dentro de los corchetes:** \[ \frac{3}{4} - \left(-\frac{5}{6}\right) - \frac{7}{4} = \frac{3}{4} + \frac{5}{6} - \frac{7}{4} = \left(\frac{3}{4} - \frac{7}{4}\right) + \frac{5}{6} = -\frac{4}{4} + \frac{5}{6} = -1 + \frac{5}{6} = -\frac{1}{6} \] 3. **Sustracción dentro de los corchetes:** \[ -1 - \left(-\frac{1}{6}\right) = -1 + \frac{1}{6} = -\frac{5}{6} \] **Paso 2:** Multiplicar las fracciones fuera de los corchetes. \[ \frac{5}{12} \times \frac{36}{15} = \frac{5 \times 36}{12 \times 15} = \frac{180}{180} = 1 \] \[ 1 \times \left(-\frac{5}{6}\right) = -\frac{5}{6} \] **Respuesta:** El resultado de la expresión **85** es \(-\frac{5}{6}\). ---