Exercice 3: ABCD est un parallélogramme A-construire tes points $$ E $$ et $$ F $$ tels que: $$ \overrightarrow{B E}=\overrightarrow{A B} $$ et $$ \overrightarrow{D F}=\overrightarrow{C D} $$. 2-Montrer que le quadrilatère $$ B E D F $$ est un parallélogramme.

Question

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Pour résoudre cet exercice, nous allons suivre les étapes demandées.

### Étape 1 : Construction des points $$ E $$ et $$ F $$

1. **Construction du point $$ E $$** :
   - On sait que $$ \overrightarrow{B E} = \overrightarrow{A B} $$. Cela signifie que le vecteur $$ \overrightarrow{B E} $$ est égal au vecteur $$ \overrightarrow{A B} $$.
   - Pour construire le point $$ E $$, on peut partir du point $$ B $$ et ajouter le vecteur $$ \overrightarrow{A B} $$. Ainsi, $$ E $$ sera situé à la position $$ B + \overrightarrow{A B} $$.

2. **Construction du point $$ F $$** :
   - De même, pour le point $$ F $$, on a $$ \overrightarrow{D F} = \overrightarrow{C D} $$.
   - On part du point $$ D $$ et on ajoute le vecteur $$ \overrightarrow{C D} $$. Ainsi, $$ F $$ sera situé à la position $$ D + \overrightarrow{C D} $$.

### Étape 2 : Montrer que le quadrilatère $$ B E D F $$ est un parallélogramme

Pour prouver que le quadrilatère $$ B E D F $$ est un parallélogramme, nous devons montrer que les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

1. **Montrons que $$ \overrightarrow{B E} $$ est parallèle à $$ \overrightarrow{D F} $$** :
   - Nous avons $$ \overrightarrow{B E} = \overrightarrow{A B} $$ et $$ \overrightarrow{D F} = \overrightarrow{C D} $$.
   - Dans un parallélogramme $$ ABCD $$, on sait que $$ \overrightarrow{A B} $$ est parallèle à $$ \overrightarrow{C D} $$ (car les côtés opposés d'un parallélogramme sont parallèles).
   - Donc, $$ \overrightarrow{B E} $$ est parallèle à $$ \overrightarrow{D F} $$.

2. **Montrons que $$ \overrightarrow{E F} $$ est parallèle à $$ \overrightarrow{B D} $$** :
   - Pour le vecteur $$ \overrightarrow{E F} $$, nous avons :
     $$
     \overrightarrow{E F} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{E} = (D + \overrightarrow{C D}) - (B + \overrightarrow{A B}) = D - B + \overrightarrow{C D} - \overrightarrow{A B}
     $$
   - En utilisant les propriétés des vecteurs dans le parallélogramme, on sait que $$ \overrightarrow{D B} = -\overrightarrow{B D} $$ et $$ \overrightarrow{C D} = \overrightarrow{A B} $$.
   - Ainsi, $$ \overrightarrow{E F} $$ est également parallèle à $$ \overrightarrow{B D} $$.

3. **Longueur des côtés** :
   - Puisque $$ \overrightarrow{B E} = \overrightarrow{A B} $$ et $$ \overrightarrow{D F} = \overrightarrow{C D} $$, les longueurs de ces vecteurs sont égales.
   - De même, $$ \overrightarrow{E F} $$ et $$ \overrightarrow{B D} $$ sont également de même longueur.

### Conclusion

Nous avons montré que les côtés opposés $$ \overrightarrow{B E} $$ et $$ \overrightarrow{D F} $$ sont parallèles et de même longueur, ainsi que $$ \overrightarrow{E F} $$ et $$ \overrightarrow{B D} $$. Par conséquent, le quadrilatère $$ B E D F $$ est un parallélogramme.
Pour construire les points $$ E $$ et $$ F $$ dans le parallélogramme $$ ABCD $$, on place $$ E $$ en ajoutant le vecteur $$ \overrightarrow{A B} $$ au point $$ B $$, et $$ F $$ en ajoutant le vecteur $$ \overrightarrow{C D} $$ au point $$ D $$. Ensuite, en montrant que les côtés opposés du quadrilatère $$ B E D F $$ sont parallèles et de même longueur, on démontre que $$ B E D F $$ est également un parallélogramme.

Exercice 3: ABCD est un parallélogramme A-construire tes points \( E \) et \( F \) tels que: \( \overrightarrow{B E}=\overrightarrow{A B} \) et \( \overrightarrow{D F}=\overrightarrow{C D} \). 2-Montrer que le quadrilatère \( B E D F \) est un parallélogramme.

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