Pour les fonctions suivantes trouver suivant la direction du vecteur donne a. $$ f(x, y)=y \ln (x, y) $$ dans la direct $$ \vec{v}=v e c i+2 \vec{j} $$

Question

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Soit la fonction

$$
f(x,y)=y\ln(xy)
$$

nous considérons que l’écriture $$\ln(x,y)$$ signifie $$\ln(xy)$$. Pour trouver la dérivée directionnelle de $$f$$ dans la direction du vecteur

$$
\vec{v}=\vec{i}+2\vec{j},
$$

nous procédons en plusieurs étapes.

1. Calcul du gradient de $$f$$ :

Le gradient de $$f$$ est le vecteur

$$
   \nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\,\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
   $$

• Pour la dérivée partielle par rapport à $$x$$ :  
     La fonction s’écrit aussi
     $$
     f(x,y)=y\bigl[\ln(x)+\ln(y)\bigr]=y\ln(x)+y\ln(y).
     $$
     En dérivant par rapport à $$x$$ (en considérant $$y$$ comme une constante) on a :
     $$
     \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y\cdot\frac{1}{x}=\frac{y}{x}.
     $$

• Pour la dérivée partielle par rapport à $$y$$ :  
     En dérivant $$f(x,y)=y\ln(x)+y\ln(y)$$ par rapport à $$y$$ on obtient :
     $$
     \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\ln(x)+\ln(y)+y\cdot\frac{1}{y}=\ln(x)+\ln(y)+1.
     $$
     En remarquant que $$\ln(x)+\ln(y)=\ln(xy)$$, on peut écrire :
     $$
     \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\ln(xy)+1.
     $$

Ainsi, le gradient s’exprime par

$$
   \nabla f(x,y)=\left(\frac{y}{x},\, \ln(xy)+1\right).
   $$

2. Passage à la dérivée directionnelle :

La dérivée directionnelle dans la direction d’un vecteur $$\vec{v}$$ est donnée par
   $$
   D_{\vec{u}}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot\vec{u},
   $$
   où $$\vec{u}$$ est le vecteur unitaire dirigé dans la direction de $$\vec{v}$$.

Le vecteur $$\vec{v}=\langle 1, 2\rangle$$ a pour norme
   $$
   \|\vec{v}\|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.
   $$
   Le vecteur unitaire associé est donc
   $$
   \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{5}}\langle 1,2\rangle.
   $$

3. Calcul du produit scalaire :

On a
   $$
   D_{\vec{u}}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot\vec{u}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\frac{y}{x}\cdot 1+ \bigl(\ln(xy)+1\bigr)\cdot 2\right].
   $$
   C’est-à-dire,
   $$
   D_{\vec{u}}f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{y}{x}+2\ln(xy)+2\right).
   $$

La dérivée directionnelle de $$f$$ dans la direction de $$\vec{v}=\vec{i}+2\vec{j}$$ est donc

$$
\boxed{D_{\vec{u}}f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{y}{x}+2\ln(xy)+2\right).}
$$
La dérivée directionnelle de $$ f(x, y) = y \ln(xy) $$ dans la direction du vecteur $$ \vec{v} = \vec{i} + 2\vec{j} $$ est $$ D_{\vec{u}}f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{y}{x} + 2\ln(xy) + 2\right). $$

Pour les fonctions suivantes trouver suivant la direction du vecteur donne a. \( f(x, y)=y \ln (x, y) \) dans la direct \[ \vec{v}=v e c i+2 \vec{j} \]

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