2. En los siguientes incisos verificar que los integrandos son funciones con- tinuas o seccionalmente continuas en los intervalos de integración, cal- cular las integrales e interpretar geométricamente los resultados. a) \( \int_{0}^{1}\left(x^{2}+2 x+2\right) d x \) b) \( \int_{0}^{1} e^{x} d x \) c) \( \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x \) d) \( \int_{-1}^{2}|x| d x \) e) \( \int_{-2}^{4}(3 x-5) d x \) f) \( \int_{0}^{1}\left(1-2 x-3 x^{2}\right) d x \) g) \( \int_{1}^{2} x^{-2} d x \) h) \( \int_{-e^{2}}^{-e} \frac{3}{x} d x \) i) \( \int_{1}^{4}\left(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}\right) d x \) j) \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos \theta+2 \operatorname{sen} \theta) d \theta \)

Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using formulas and rules: \(\int_{0}^{1} \left(x^{2}+2x+2\right) dx\) - step1: Evaluate the integral: \(\int \left(x^{2}+2x+2\right) dx\) - step2: Use properties of integrals: \(\int x^{2} dx+\int 2x dx+\int 2 dx\) - step3: Evaluate the integral: \(\frac{x^{3}}{3}+\int 2x dx+\int 2 dx\) - step4: Evaluate the integral: \(\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+\int 2 dx\) - step5: Evaluate the integral: \(\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+2x\) - step6: Return the limits: \(\left(\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+2x\right)\bigg |_{0}^{1}\) - step7: Calculate the value: \(\frac{10}{3}\) Calculate the integral \( \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x \). Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using formulas and rules: \(\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx\) - step1: Evaluate the integral: \(\int \frac{1}{x} dx\) - step2: Evaluate the integral: \(\ln{\left(\left|x\right|\right)}\) - step3: Return the limits: \(\left(\ln{\left(\left|x\right|\right)}\right)\bigg |_{1}^{e}\) - step4: Calculate the value: \(1\) Calculate the integral \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos \theta+2 \operatorname{sen} \theta) d \theta \). Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using formulas and rules: \(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}} \left(\cos\left(\theta \right)+2\sin\left(\theta \right)\right) d\theta\) - step1: Evaluate the integral: \(\int \left(\cos\left(\theta \right)+2\sin\left(\theta \right)\right) d\theta\) - step2: Use properties of integrals: \(\int \cos\left(\theta \right) d\theta+\int 2\sin\left(\theta \right) d\theta\) - step3: Evaluate the integral: \(\sin\left(\theta \right)+\int 2\sin\left(\theta \right) d\theta\) - step4: Evaluate the integral: \(\sin\left(\theta \right)-2\cos\left(\theta \right)\) - step5: Return the limits: \(\left(\sin\left(\theta \right)-2\cos\left(\theta \right)\right)\bigg |_{0}^{\frac{\pi }{2}}\) - step6: Calculate the value: \(3\) Calculate the integral \( \int_{0}^{1} e^{x} d x \). Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using formulas and rules: \(\int_{0}^{1} e^{x} dx\) - step1: Evaluate the integral: \(\int e^{x} dx\) - step2: Evaluate the integral: \(e^{x}\) - step3: Return the limits: \(\left(e^{x}\right)\bigg |_{0}^{1}\) - step4: Calculate the value: \(e-1\) Calculate the integral \( \int_{0}^{1}\left(1-2 x-3 x^{2}\right) d x \). Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using formulas and rules: \(\int_{0}^{1} \left(1-2x-3x^{2}\right) dx\) - step1: Evaluate the integral: \(\int \left(1-2x-3x^{2}\right) dx\) - step2: Use properties of integrals: \(\int 1 dx+\int -2x dx+\int -3x^{2} dx\) - step3: Evaluate the integral: \(x+\int -2x dx+\int -3x^{2} dx\) - step4: Evaluate the integral: \(x-x^{2}+\int -3x^{2} dx\) - step5: Evaluate the integral: \(x-x^{2}-x^{3}\) - step6: Return the limits: \(\left(x-x^{2}-x^{3}\right)\bigg |_{0}^{1}\) - step7: Calculate the value: \(-1\) Calculate the integral \( \int_{-1}^{2}|x| d x \). Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using formulas and rules: \(\int_{-1}^{2} \left|x\right| dx\) - step1: Rewrite the expression: \(\int_{-1}^{0} -x dx+\int_{0}^{2} x dx\) - step2: Evaluate the integral: \(\frac{1}{2}+\int_{0}^{2} x dx\) - step3: Evaluate the integral: \(\frac{1}{2}+2\) - step4: Calculate: \(\frac{5}{2}\) Calculate the integral \( \int_{-2}^{4}(3 x-5) d x \). Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using formulas and rules: \(\int_{-2}^{4} \left(3x-5\right) dx\) - step1: Evaluate the integral: \(\int \left(3x-5\right) dx\) - step2: Use properties of integrals: \(\int 3x dx+\int -5 dx\) - step3: Evaluate the integral: \(\frac{3x^{2}}{2}+\int -5 dx\) - step4: Evaluate the integral: \(\frac{3x^{2}}{2}-5x\) - step5: Return the limits: \(\left(\frac{3x^{2}}{2}-5x\right)\bigg |_{-2}^{4}\) - step6: Calculate the value: \(-12\) Calculate the integral \( \int_{-e^{2}}^{-e} \frac{3}{x} d x \). Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using formulas and rules: \(\int_{-e^{2}}^{-e} \frac{3}{x} dx\) - step1: Evaluate the integral: \(\int \frac{3}{x} dx\) - step2: Rewrite the expression: \(\int 3\times \frac{1}{x} dx\) - step3: Use properties of integrals: \(3\times \int \frac{1}{x} dx\) - step4: Evaluate the integral: \(3\ln{\left(\left|x\right|\right)}\) - step5: Return the limits: \(\left(3\ln{\left(\left|x\right|\right)}\right)\bigg |_{-e^{2}}^{-e}\) - step6: Calculate the value: \(-3\) Calculate the integral \( \int_{1}^{2} x^{-2} d x \). Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using formulas and rules: \(\int_{1}^{2} x^{-2} dx\) - step1: Evaluate the integral: \(\int x^{-2} dx\) - step2: Rewrite the expression: \(\int \frac{1}{x^{2}} dx\) - step3: Evaluate the integral: \(\frac{x^{-2+1}}{-2+1}\) - step4: Add the numbers: \(\frac{x^{-1}}{-2+1}\) - step5: Add the numbers: \(\frac{x^{-1}}{-1}\) - step6: Divide the terms: \(-x^{-1}\) - step7: Express with a positive exponent: \(-\frac{1}{x}\) - step8: Return the limits: \(\left(-\frac{1}{x}\right)\bigg |_{1}^{2}\) - step9: Calculate the value: \(\frac{1}{2}\) Calculate the integral \( \int_{1}^{4}\left(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}\right) d x \). Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using formulas and rules: \(\int_{1}^{4} \left(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}\right) dx\) - step1: Evaluate the integral: \(\int \left(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}\right) dx\) - step2: Use properties of integrals: \(\int \sqrt{x} dx+\int -\frac{2}{\sqrt{x}} dx\) - step3: Evaluate the integral: \(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+\int -\frac{2}{\sqrt{x}} dx\) - step4: Evaluate the integral: \(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-4x^{\frac{1}{2}}\) - step5: Return the limits: \(\left(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-4x^{\frac{1}{2}}\right)\bigg |_{1}^{4}\) - step6: Calculate the value: \(\frac{2}{3}\) Vamos a verificar la continuidad de los integrandos y calcular las integrales solicitadas, interpretando geométricamente los resultados. ### a) \( \int_{0}^{1}\left(x^{2}+2 x+2\right) d x \) **Continuidad:** La función \(f(x) = x^{2} + 2x + 2\) es un polinomio, por lo que es continua en el intervalo \([0, 1]\). **Cálculo de la integral:** \[ \int_{0}^{1}\left(x^{2}+2 x+2\right) d x = \left[ \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + 2x \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{3} + 1 + 2 \right) - 0 = \frac{10}{3} \] **Interpretación geométrica:** El resultado \(\frac{10}{3}\) representa el área bajo la curva de la función \(f(x)\) desde \(x=0\) hasta \(x=1\). --- ### b) \( \int_{0}^{1} e^{x} d x \) **Continuidad:** La función \(f(x) = e^{x}\) es continua en todo el dominio real, incluyendo el intervalo \([0, 1]\). **Cálculo de la integral:** \[ \int_{0}^{1} e^{x} d x = \left[ e^{x} \right]_{0}^{1} = e - 1 \] **Interpretación geométrica:** El resultado \(e - 1\) es el área bajo la curva de \(f(x)\) desde \(x=0\) hasta \(x=1\). --- ### c) \( \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x \) **Continuidad:** La función \(f(x) = \frac{1}{x}\) es continua en el intervalo \([1, e]\). **Cálculo de la integral:** \[ \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x = \left[ \ln|x| \right]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 \] **Interpretación geométrica:** El resultado \(1\) representa el área bajo la curva de \(f(x)\) desde \(x=1\) hasta \(x=e\). --- ### d) \( \int_{-1}^{2}|x| d x \) **Continuidad:** La función \(f(x) = |x|\) es continua en todo el dominio real. **Cálculo de la integral:** \[ \int_{-1}^{2}|x| d x = \int_{-1}^{0} -x d x + \int_{0}^{2} x d x = \left[ -\frac{x^{2}}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{2} = \left(0 - \frac{1}{2}\right) + \left(2\right) = \frac{5}{2} \] **Interpretación geométrica:** El resultado \(\frac{5}{2}\) es el área total bajo la curva de \(f(x)\) desde \(x=-1\) hasta \(x=2\). --- ### e) \( \int_{-2}^{4}(3 x-5) d x \) **Continuidad:** La función \(f(x) = 3x - 5\) es un polinomio, por lo que es continua en el intervalo \([-2, 4]\). **Cálculo de la integral:** \[ \int_{-2}^{4}(3 x-5) d x = \left[ \frac{3x^{2}}{2} - 5x \right]_{-2}^{4} = \left(24 - 20\right) - \left(6 + 10\right) = -12 \] **Interpretación geométrica:** El resultado \(-12\) indica que el área neta bajo la curva es negativa, lo que significa que la función está por debajo del eje \(x\) en la mayor parte del intervalo. --- ### f) \( \int_{0}^{1}\left(1-2 x-3 x^{2}\right) d x \) **Continuidad:** La función \(f(x) = 1 - 2x - 3x^{2}\) es un polinomio, por lo que es continua en el intervalo \([0, 1]\). **Cálculo de la integral:** \[ \int_{0}^{1}\left(1-2 x-3 x^{2}\right) d x = \left[ x - x^{2} - x^{3} \right]_{0}^{1} = (1 - 1 - 1) - 0 = -1 \] **Interpretación geométrica:** El resultado \(-1\) indica que el área neta bajo la curva es negativa. --- ### g) \( \int_{1}^{2} x^{-2} d x \) **Continuidad:** La función \(f(x) = x^{-2}\) es continua en el intervalo \([1, 2]\). **Cálculo de la integral:** \[ \int_{1}^{2} x^{-2} d x = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{2} = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \] **Interpretación geométrica:** El resultado \(\frac{1}{2}\) representa el área bajo la curva de \(f(x)\) desde \(x=1\) hasta \(x=2\). --- ### h) \( \int_{-e^{2}}^{-e} \frac{3}{x} d x \) **Continuidad:** La función \(f(x) = \frac{3}{x}\) es continua en el intervalo \([-e^{2}, -e]\). **Cálculo de la integral:** \[ \int_{-e^{2}}^{-e} \frac{3}{x} d x = 3\left[ \ln|x| \right]_{-e^{2}}^{-e} = 3(\ln(e) - \ln(e^{2})) = 3(1 - 2) = -3 \] **Interpretación geométrica:** El resultado \(-3\) indica que el área neta bajo la curva es negativa. --- ### i) \( \int_{1}^{4}\left(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}\right) d x \) **Continuidad:** La función \(f(x) = \sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}\)