Rakamları arasında \( 2 \mathrm{a}+\mathrm{b}=9 \) bağıntısı bulunan tüm iki basamaklı ab sayılarının toplamı kaçtır?

Verilen bağıntı \( 2a + b = 9 \) şeklindedir. Burada \( a \) ve \( b \) iki basamaklı bir sayının basamaklarını temsil etmektedir. \( a \) ondalık basamağı, \( b \) ise birler basamağını temsil eder. \( a \) 1 ile 9 arasında (çünkü iki basamaklı bir sayı olmalı) ve \( b \) 0 ile 9 arasında bir değer alabilir. Öncelikle \( b \) değerini \( a \) cinsinden ifade edelim: \[ b = 9 - 2a \] Şimdi \( b \) değerinin geçerli olabilmesi için \( 0 \leq b \leq 9 \) koşulunu sağlayalım: 1. \( 9 - 2a \geq 0 \) koşulunu sağlayalım: \[ 9 \geq 2a \implies a \leq 4.5 \] Buradan \( a \) en fazla 4 olabilir. 2. \( 9 - 2a \leq 9 \) koşulu her zaman sağlanır, bu yüzden bu koşul üzerinde durmamıza gerek yok. Şimdi \( a \) için alabileceği değerleri belirleyelim: - \( a = 1 \) için: \[ b = 9 - 2 \cdot 1 = 7 \quad \Rightarrow \quad 17 \] - \( a = 2 \) için: \[ b = 9 - 2 \cdot 2 = 5 \quad \Rightarrow \quad 25 \] - \( a = 3 \) için: \[ b = 9 - 2 \cdot 3 = 3 \quad \Rightarrow \quad 33 \] - \( a = 4 \) için: \[ b = 9 - 2 \cdot 4 = 1 \quad \Rightarrow \quad 41 \] Bu durumda geçerli iki basamaklı sayılar: 17, 25, 33 ve 41'dir. Şimdi bu sayıların toplamını hesaplayalım: \[ 17 + 25 + 33 + 41 \] Hesaplayalım: \[ 17 + 25 = 42 \] \[ 42 + 33 = 75 \] \[ 75 + 41 = 116 \] Sonuç olarak, \( 2a + b = 9 \) bağıntısını sağlayan tüm iki basamaklı \( ab \) sayıların toplamı: \[ \boxed{116} \]