\( \frac { d y } { d x } = \frac { x ^ { 2 } e ^ { - \frac { y } { x } } + y ^ { 2 } } { x y } \)

Para resolver la ecuación diferencial: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{x^{2} e^{- \frac{y}{x}} + y^{2}}{x y} \] seguimos los siguientes pasos: ### Paso 1: Simplificar la Ecuación Primero, simplificamos la expresión del lado derecho: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{x^{2} e^{- \frac{y}{x}}}{x y} + \frac{y^{2}}{x y} = \frac{x e^{- \frac{y}{x}}}{y} + \frac{y}{x} \] ### Paso 2: Sustitución Realizamos la sustitución \( v = \frac{y}{x} \), lo que implica que \( y = v x \). Entonces, derivamos ambos lados respecto a \( x \): \[ \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \] Sustituyendo en la ecuación original: \[ v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x e^{-v}}{v} + \frac{v x}{x} = \frac{x e^{-v}}{v} + v \] Simplificamos: \[ v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x e^{-v}}{v} + v \implies x \frac{dv}{dx} = \frac{x e^{-v}}{v} \] ### Paso 3: Separación de Variables Dividimos ambos lados por \( x \) y multiplicamos por \( v \): \[ v \, dv = e^{-v} \frac{dx}{x} \] Reorganizamos para separar las variables: \[ v e^{v} dv = \frac{dx}{x} \] ### Paso 4: Integración Integramos ambos lados: \[ \int v e^{v} dv = \int \frac{dx}{x} \] La integral de la izquierda se resuelve por partes: \[ \int v e^{v} dv = e^{v} (v - 1) + C \] La integral de la derecha es: \[ \int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C \] Por lo tanto: \[ e^{v} (v - 1) = \ln |x| + C \] ### Paso 5: Sustitución de V y Solución Implícita Recordando que \( v = \frac{y}{x} \), sustituimos de nuevo: \[ e^{\frac{y}{x}} \left( \frac{y}{x} - 1 \right) = \ln |x| + C \] Esta es la solución implícita de la ecuación diferencial dada. ### Solución Final La solución general de la ecuación diferencial es: \[ e^{\frac{y}{x}} \left( \frac{y}{x} - 1 \right) = \ln |x| + C \] donde \( C \) es la constante de integración.