44. Given that a curve has a gradient function $$ \frac{1}{(3-x)^{2}} $$ and it passes through the point $$ \left(2,1 \frac{1}{2}\right) $$, find the equation of the curve.

Question

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令曲线的梯度函数为
$$
\frac{1}{(3-x)^2},
$$
因此曲线的函数 $$ y=f(x) $$ 满足
$$
f'(x)=\frac{1}{(3-x)^2}.
$$

**步骤1：求原函数**

我们需要对梯度函数进行积分：
$$
f(x)=\int \frac{1}{(3-x)^2}\,dx.
$$
令
$$
u=3-x,\quad \text{则} \quad du=-dx,\quad dx=-du.
$$
代入积分式中：
$$
f(x)=\int \frac{1}{u^2}\,(-du)
=-\int u^{-2}\,du.
$$
计算积分：
$$
-\int u^{-2}\,du = -\left(-\frac{1}{u}\right)+C=\frac{1}{u}+C,
$$
其中 $$ C $$ 为常数。因此有
$$
f(x)=\frac{1}{3-x}+C.
$$

**步骤2：利用初始条件确定常数 $$ C $$**

题目给出曲线过点
$$
\left(2,1\frac{1}{2}\right),
$$
即
$$
f(2)=\frac{3}{2}.
$$
代入 $$ x=2 $$ 得：
$$
f(2)=\frac{1}{3-2}+C=1+C.
$$
于是
$$
1+C=\frac{3}{2}\quad\Longrightarrow\quad C=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}.
$$

**步骤3：写出曲线的方程**

将常数 $$ C $$ 的值代入 $$ f(x) $$ 中，得曲线的方程为：
$$
f(x)=\frac{1}{3-x}+\frac{1}{2}.
$$
曲线的方程是 $$ f(x) = \frac{1}{3 - x} + \frac{1}{2} $$。

44. Given that a curve has a gradient function \( \frac{1}{(3-x)^{2}} \) and it passes through the point \( \left(2,1 \frac{1}{2}\right) \), find the equation of the curve.

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