2. (2pts) Sejam os vetores $$ \vec{u}=(1,-2,1), \vec{v}=(1,1,1) $$ e $$ \vec{w}=(1,0,-1) $$. a) Utilizar o produto escalar para mostrar que os vetores são, dois a dois, ortogonais. b) Utilizar o produto vetorial para mostrar que o produto vetorial de quaisquer dois deles é paralelo ao terceiro vetor. c) Mostrar que $$ \vec{u} imes(\vec{v} imes \vec{w})=0 $$.

Question

2. (2pts) Sejam os vetores $$ \vec{u}=(1,-2,1), \vec{v}=(1,1,1) $$ e $$ \vec{w}=(1,0,-1) $$. a) Utilizar o produto escalar para mostrar que os vetores são, dois a dois, ortogonais. b) Utilizar o produto vetorial para mostrar que o produto vetorial de quaisquer dois deles é paralelo ao terceiro vetor. c) Mostrar que $$ \vec{u} 	imes(\vec{v} 	imes \vec{w})=0 $$.

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Vamos resolver cada item passo a passo.

### a) Utilizar o produto escalar para mostrar que os vetores são, dois a dois, ortogonais.

Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero.

Calculamos o produto escalar para cada par de vetores:

1. **Produto escalar de $$ \vec{u} $$ e $$ \vec{v} $$:**
   $$
   \vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(1) + (-2)(1) + (1)(1) = 1 - 2 + 1 = 0
   $$

2. **Produto escalar de $$ \vec{u} $$ e $$ \vec{w} $$:**
   $$
   \vec{u} \cdot \vec{w} = (1)(1) + (-2)(0) + (1)(-1) = 1 + 0 - 1 = 0
   $$

3. **Produto escalar de $$ \vec{v} $$ e $$ \vec{w} $$:**
   $$
   \vec{v} \cdot \vec{w} = (1)(1) + (1)(0) + (1)(-1) = 1 + 0 - 1 = 0
   $$

Como em todos os casos o produto escalar é zero, os vetores $$ \vec{u} $$, $$ \vec{v} $$ e $$ \vec{w} $$ são ortogonais dois a dois.

### b) Utilizar o produto vetorial para mostrar que o produto vetorial de quaisquer dois deles é paralelo ao terceiro vetor.

Para verificar se o produto vetorial de dois vetores é paralelo ao terceiro, calculamos os produtos vetoriais e comparamos com o terceiro vetor.

1. **Produto vetorial de $$ \vec{u} $$ e $$ \vec{v} $$:**
   $$
   \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix}
   \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
   1 & -2 & 1 \
   1 & 1 & 1
   \end{vmatrix} = \hat{i}((-2)(1) - (1)(1)) - \hat{j}((1)(1) - (1)(1)) + \hat{k}((1)(1) - (-2)(1)) 
   $$
   $$
   = \hat{i}(-2 -1) - \hat{j}(1 -1) + \hat{k}(1 + 2) = -3\hat{i} + 0\hat{j} + 3\hat{k} = (-3, 0, 3)
   $$
   Observe que $$ (-3, 0, 3) = 3(−1, 0, 1) $$. Contudo, $$ \vec{w} = (1, 0, -1) $$, que é paralelo a $$ \vec{u} \times \vec{v} $$ pois $$ (-1, 0, 1) = -\vec{w} $$. Portanto:
   $$
   \vec{u} \times \vec{v} = -3\vec{w}
   $$

2. **Produto vetorial de $$ \vec{v} $$ e $$ \vec{w} $$:**
   $$
   \vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix}
   \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
   1 & 1 & 1 \
   1 & 0 & -1
   \end{vmatrix} = \hat{i}((1)(-1) - (1)(0)) - \hat{j}((1)(-1) - (1)(1)) + \hat{k}((1)(0) - (1)(1)) 
   $$
   $$
   = \hat{i}(-1 -0) - \hat{j}(-1 -1) + \hat{k}(0 -1) = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k} = (-1, 2, -1)
   $$
   Note que $$ (-1, 2, -1) = 2(−0.5, 1, -0.5) $$. Verificamos que esse vetor é paralelo a $$ \vec{u} $$:
   $$
   \vec{u} = (1, -2, 1) = -1 \times (-1, 2, -1) = -(\vec{v} \times \vec{w})
   $$
   Portanto:
   $$
   \vec{v} \times \vec{w} = -\vec{u}
   $$

3. **Produto vetorial de $$ \vec{u} $$ e $$ \vec{w} $$:**
   $$
   \vec{u} \times \vec{w} = \begin{vmatrix}
   \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
   1 & -2 & 1 \
   1 & 0 & -1
   \end{vmatrix} = \hat{i}((-2)(-1) - (1)(0)) - \hat{j}((1)(-1) - (1)(1)) + \hat{k}((1)(0) - (-2)(1))
   $$
   $$
   = \hat{i}(2 -0) - \hat{j}(-1 -1) + \hat{k}(0 +2) = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k} = 2(1, 1, 1) = 2\vec{v}
   $$
   Portanto:
   $$
   \vec{u} \times \vec{w} = 2\vec{v}
   $$

Em todos os casos, o produto vetorial de quaisquer dois vetores é paralelo ao terceiro vetor.

### c) Mostrar que $$ \vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = 0 $$.

Utilizamos a propriedade do produto vetorial que envolve três vetores:

$$
\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = \vec{v} (\vec{u} \cdot \vec{w}) - \vec{w} (\vec{u} \cdot \vec{v})
$$

Sabemos pelos itens anteriores que:
$$
\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \quad \text{e} \quad \vec{u} \cdot \vec{w} = 0
$$

Portanto:
$$
\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = \vec{v} \times 0 - \vec{w} \times 0 = 0 - 0 = \vec{0}
$$

Assim, $$ \vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = \vec{0} $$.
a) Os vetores $$ \vec{u} $$, $$ \vec{v} $$ e $$ \vec{w} $$ são ortogonais dois a dois. b) O produto vetorial de quaisquer dois vetores é paralelo ao terceiro vetor. c) $$ \vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = \vec{0} $$.

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