It forma normale e il fatto che le soluzioni siano razionali o irrazionali. Paolo afferma: eSe un equazione di secondo grado ha coefficienti razionali, allora certamente anche le soluzioni, se os. stono, sono razionali»; Barbara: «Paolo, tı star sbagliando! É vero soltanto il viceversa, ossia: se le soluzioni di unequa. zione di secondo grado sono razionali, allora 1 coefficienti devono essere razionali"; Marco: "Paolo e Barbara si stanno deil'equazione sono razionale soluzionı pure sono razionali, allora il discriminante deve essere un quadrato perfetto. Chi ha ragione e chi è in errore? Giustifica le risposte

Analizziamo ciascuna affermazione. 1. • Affermazione di Paolo:   "Se un'equazione di secondo grado ha coefficienti razionali, allora certamente anche le soluzioni, se esistono, sono razionali."   Consideriamo l’equazione generica ax² + bx + c = 0, con a, b, c razionali. Le soluzioni si ottengono con la formula     x = (–b ± √(b² – 4ac)) / (2a).   Anche se a, b, c sono razionali, il discriminante Δ = b² – 4ac può non essere un quadrato perfetto, cioè √Δ può essere irrazionale. Per esempio, in     x² – 2x – 1 = 0,   abbiamo Δ = (–2)² – 4·1·(–1) = 4 + 4 = 8, e √8 non è razionale. Quindi le soluzioni saranno 1 ± √2, entrambe irrazionali.   Pertanto, Paolo sbaglia: avere coefficienti razionali non garantisce soluzioni razionali. 2. • Affermazione di Barbara:   "Se le soluzioni di un'equazione di secondo grado sono razionali, allora i coefficienti devono essere razionali."   Un ragionamento comune potrebbe essere il seguente: se x₁ e x₂ sono le radici (razionali) di un’equazione in forma normale, allora, per le formule di Vieta, la somma (x₁ + x₂) e il prodotto (x₁·x₂) sono razionali e, pertanto, nella forma x² – (x₁ + x₂)x + (x₁·x₂) = 0 i coefficienti sono razionali.   Tuttavia, l’errore sta nel non considerare che la stessa equazione può essere scritta in forma equivalente moltiplicando tutti i coefficienti per un numero non zero. Per esempio, se prendiamo x₁ = 2 e x₂ = 3 e scriviamo l’equazione in forma ridotta (monica) otteniamo     x² – 5x + 6 = 0  (con coefficienti razionali).   Ma se moltiplichiamo ogni termine per √2, otteniamo     √2·x² – 5√2·x + 6√2 = 0,   un’equazione equivalente che ha le stesse soluzioni (2 e 3), ma in cui i coefficienti sono irracionales.   Quindi, in assoluto, le radici razionali non garantiscono che i coefficienti, nella rappresentazione data dell'equazione (cioè nei valori specifici assunti da a, b, c), siano razionali.   Pertanto, Barbara è in errore. 3. • Affermazione di Marco:   "Se l'equazione è razionale (cioè i coefficienti sono razionali) e le soluzioni pure sono razionali, allora il discriminante deve essere un quadrato perfetto."   Se a, b e c sono razionali e le radici sono date da     x = (–b ± √(b² – 4ac)) / (2a),   perché x risulti razionale, il termine √(b² – 4ac) deve essere anch'esso razionale, il che accade se e solo se b² – 4ac è il quadrato di un numero razionale (ossia un quadrato perfetto nell'insieme dei razionali). Se ciò non fosse vero, √(b² – 4ac) sarebbe irrazionale e, di conseguenza, almeno una delle soluzioni risulterebbe irrazionale.   Pertanto Marco ha ragione. Riassumendo:   • Paolo è in errore, perché coefficienti razionali non garantiscono automaticamente soluzioni razionali.   • Barbara è in errore, in quanto è possibile avere equazioni (nella loro rappresentazione non normalizzata) con soluzioni razionali ma con coefficienti irracionales.   • Marco è corretto: se sia i coefficienti che le soluzioni sono razionali, allora il discriminante deve essere un quadrato perfetto.