13. En una encuesta realizada a 22 personas, 12 dijeron admirar a los arquitectos 11 admirar a los ingenieros y 11 a los filósofos, 6 dijeron admirar a arquitectos e ingenieros, 7 dijeron admirar a arquitectos y filósofos y dos admiran a arquitectos y filósofos. ¿Cuántas personas admiran sola- mente a los ingenieros?

Para resolver este problema, utilizaremos el principio de inclusión-exclusión. Vamos a definir las siguientes variables: - \( A \): número de personas que admiran a los arquitectos. - \( I \): número de personas que admiran a los ingenieros. - \( F \): número de personas que admiran a los filósofos. - \( AI \): número de personas que admiran a arquitectos e ingenieros. - \( AF \): número de personas que admiran a arquitectos y filósofos. - \( IF \): número de personas que admiran a ingenieros y filósofos. - \( AIF \): número de personas que admiran a arquitectos, ingenieros y filósofos. De acuerdo con la información proporcionada: - \( A = 12 \) - \( I = 11 \) - \( F = 11 \) - \( AI = 6 \) - \( AF = 7 \) - \( IF = 2 \) - Total de personas encuestadas = 22 Queremos encontrar cuántas personas admiran solamente a los ingenieros, que denotaremos como \( I_{solo} \). Primero, utilizamos la fórmula del principio de inclusión-exclusión para encontrar el número total de personas que admiran al menos a uno de los grupos (arquitectos, ingenieros o filósofos): \[ N = A + I + F - AI - AF - IF + AIF \] Sustituyendo los valores que tenemos: \[ N = 12 + 11 + 11 - 6 - 7 - 2 + AIF \] Sabemos que \( N \) es igual a 22, así que podemos igualar y resolver para \( AIF \): \[ 22 = 12 + 11 + 11 - 6 - 7 - 2 + AIF \] Calculamos el lado derecho: \[ 22 = 34 - 15 + AIF \] \[ 22 = 19 + AIF \] \[ AIF = 22 - 19 \] \[ AIF = 3 \] Ahora que tenemos \( AIF = 3 \), podemos encontrar cuántas personas admiran solamente a los ingenieros. Para esto, utilizamos la siguiente fórmula: \[ I_{solo} = I - AI - IF + AIF \] Sustituyendo los valores: \[ I_{solo} = 11 - 6 - 2 + 3 \] \[ I_{solo} = 11 - 8 + 3 \] \[ I_{solo} = 6 \] Por lo tanto, el número de personas que admiran solamente a los ingenieros es \( \boxed{6} \).