131 Étudier la convexité d'une fonction Un ébéniste décide de refaire les accoudoirs d'un fauteuil. On modélise l'accoudoir à l'aide de la fonction \( f \) définie sur \( [0 ; 60] \) par : \[ f(x)=70+(14 x+42) \mathrm{e}^{-\frac{x}{5}} \text {. } \] Soit \( \mathscr{C}_{f} \) la courbe représentative de \( f \). On admet que la fonction \( f \) est deux fois dérivable sur l'intervalle \( [0 ; 60] \). On note \( f^{\prime} \) sa fonction dérivée et \( f^{\prime \prime} \) sa fonction dérivée seconde. 1. Montrer que pour tout nombre réel \( x \) de \( [0 ; 60] \), \( f^{\prime}(x)=\frac{1}{5}(-14 x+28) \mathrm{e}^{-\frac{x}{5}} \). 2. Étudier le signe de \( f^{\prime}(x) \) sur \( [0 ; 60] \) et dresser son tableau de variations.

**1. Calcul de la dérivée \( f^{\prime}(x) \)** La fonction donnée est : \[ f(x) = 70 + (14x + 42) \mathrm{e}^{-\frac{x}{5}} \] Pour calculer la dérivée \( f^{\prime}(x) \), nous dérivons chaque terme séparément. - La dérivée de la constante \( 70 \) est \( 0 \). - Pour le terme \( (14x + 42) \mathrm{e}^{-\frac{x}{5}} \), nous utilisons la règle du produit : \[ \frac{d}{dx}\left[(14x + 42) \mathrm{e}^{-\frac{x}{5}}\right] = (14x + 42) \cdot \frac{d}{dx}\left[\mathrm{e}^{-\frac{x}{5}}\right] + \mathrm{e}^{-\frac{x}{5}} \cdot \frac{d}{dx}(14x + 42) \] Calculons chaque dérivée : - \( \frac{d}{dx}\left[\mathrm{e}^{-\frac{x}{5}}\right] = -\frac{1}{5} \mathrm{e}^{-\frac{x}{5}} \) - \( \frac{d}{dx}(14x + 42) = 14 \) En substituant : \[ = (14x + 42) \left(-\frac{1}{5}\right) \mathrm{e}^{-\frac{x}{5}} + 14 \mathrm{e}^{-\frac{x}{5}} \] \[ = \left(-\frac{14x + 42}{5} + 14\right) \mathrm{e}^{-\frac{x}{5}} \] \[ = \left(-\frac{14x}{5} - \frac{42}{5} + \frac{70}{5}\right) \mathrm{e}^{-\frac{x}{5}} \] \[ = \left(-\frac{14x}{5} + \frac{28}{5}\right) \mathrm{e}^{-\frac{x}{5}} \] \[ = \frac{1}{5}(-14x + 28) \mathrm{e}^{-\frac{x}{5}} \] Ainsi, pour tout \( x \) de \( [0 ; 60] \), \[ f^{\prime}(x) = \frac{1}{5}(-14x + 28) \mathrm{e}^{-\frac{x}{5}} \] **2. Étude du signe de \( f^{\prime}(x) \) sur \( [0 ; 60] \) et tableau de variations** Analysons le signe de \( f^{\prime}(x) = \frac{1}{5}(-14x + 28) \mathrm{e}^{-\frac{x}{5}} \). - **Le facteur \( \frac{1}{5} \) est toujours positif.** - **La fonction exponentielle \( \mathrm{e}^{-\frac{x}{5}} \) est toujours positive.** - **Le facteur déterminant est \( -14x + 28 \).** Étudions donc le signe de \( -14x + 28 \) : \[ -14x + 28 > 0 \Rightarrow x < 2 \] \[ -14x + 28 = 0 \Rightarrow x = 2 \] \[ -14x + 28 < 0 \Rightarrow x > 2 \] Donc : - \( f^{\prime}(x) > 0 \) pour \( x \in [0, 2) \) : la fonction est **croissante**. - \( f^{\prime}(2) = 0 \) : point critique. - \( f^{\prime}(x) < 0 \) pour \( x \in (2, 60] \) : la fonction est **décroissante**. **Tableau de variations de la fonction \( f \) sur \( [0 ; 60] \)** | \( x \) | 0 | 2 | 60 | |-------------------|-------------|-------------|-------------| | \( f^{\prime}(x) \) | \( + \) | 0 | \( - \) | | \(\ f(x) \) | 112 | Maximum | 70 | | Variation | \(\uparrow\) | \(\searrow\) | | - **Pour \( x \) allant de 0 à 2**, la fonction \( f \) est **croissante**. - **Pour \( x = 2 \)**, la fonction atteint un **maximum**. - **Pour \( x \) allant de 2 à 60**, la fonction \( f \) est **décroissante**. --- Ainsi, la dérivée \( f^{\prime}(x) \) s'annule en \( x = 2 \), avec une augmentation de la fonction avant ce point et une diminution après.