h) \( 4^{x}-2^{x+1}=48 \)

1. Note que \(4^x\) pode ser escrito como \(\left(2^2\right)^x = 2^{2x}\). Assim, a equação fica: \[ 2^{2x} - 2^{x+1} = 48 \] 2. Faça a substituição \(t = 2^x\). Então, \(2^{2x} = t^2\) e \(2^{x+1} = 2t\). A equação se torna: \[ t^2 - 2t = 48 \] 3. Coloque a equação na forma padrão: \[ t^2 - 2t - 48 = 0 \] 4. Resolva a equação quadrática utilizando a fórmula de Bhaskara: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \quad \text{onde} \quad a = 1, \quad b = -2, \quad c = -48 \] Substituindo os valores: \[ t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-48)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{196}}{2} \] \[ t = \frac{2 \pm 14}{2} \] 5. Obtenha as soluções: \[ t = \frac{2 + 14}{2} = 8 \quad \text{ou} \quad t = \frac{2 - 14}{2} = -6 \] 6. Como \(t = 2^x\) e \(2^x > 0\) para qualquer \(x\), descartamos a solução \(t = -6\). Assim, temos: \[ t = 8 \] 7. Agora, resolva \(2^x = 8\). Sabemos que \(8 = 2^3\), portanto: \[ 2^x = 2^3 \implies x = 3 \] Resposta final: \[ x = 3 \]