3. Una empresa quiere acumular \( \$ 500,000 \) en 10 años con pagos semestrales anticipados a una tasa del \( 9 \% \) anual capitalizable semestralmente. ¿Cuál debe ser la renta semestral?

1. La empresa realizará pagos semestrales anticipados durante 10 años, lo que significa que habrá \( n = 10 \times 2 = 20 \) periodos. 2. La tasa nominal anual es del \(9\%\) capitalizable semestralmente, por lo que la tasa semestral es \[ i = \frac{9\%}{2} = 0.045. \] 3. La fórmula para el valor futuro \( FV \) de una anualidad anticipada es \[ FV = R \cdot \left( \frac{(1+i)^n - 1}{i} \right) \cdot (1+i), \] donde \( R \) es la renta semestral. 4. Se desea acumular \( FV = \$500,\!000 \). Por lo tanto, igualando y despejando \( R \): \[ R = \frac{500,\!000}{\left( \frac{(1.045)^{20} - 1}{0.045} \right) \cdot 1.045}. \] 5. Calculemos paso a paso: - Primero, se calcula \( (1.045)^{20} \). Aproximadamente: \[ (1.045)^{20} \approx 2.4116. \] - Entonces: \[ (1.045)^{20} - 1 \approx 2.4116 - 1 = 1.4116. \] - Dividiendo entre \( i \): \[ \frac{1.4116}{0.045} \approx 31.3689. \] - Multiplicando por \( 1.045 \): \[ 31.3689 \times 1.045 \approx 32.7722. \] 6. Finalmente, se obtiene: \[ R \approx \frac{500,\!000}{32.7722} \approx 15,\!260. \] Por lo tanto, la renta semestral debe ser aproximadamente \( \$15,\!260 \).