(7222 Nel triangolo \( A B C \), isoscele sulla base \( A B \), si ha \( A \widehat{C} B=120^{\circ} \). Prolungando \( A B \), dalla parte di \( B \), di un segmento \( B P \) lungo 4 cm , il triangolo \( A P C \) ha area \( 5 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2} \). Qual è il perimetro di \( A B C \) ? \( [(4 \sqrt{3}+6) \mathrm{cm}] \)

Procediamo per gradi. 1. Dati: il triangolo ABC è isoscele sulla base AB, cioè AC = BC. Inoltre, l’angolo al vertice C misura 120° (∠ACB = 120°). 2. Applicando il teorema del coseno al triangolo ABC:   AB² = AC² + BC² – 2·AC·BC·cos(120°).   Poiché AC = BC = s, si ha     AB² = s² + s² – 2·s²·(–½)        = 2s² + s² = 3s²,   quindi     AB = s√3. 3. Sia s la lunghezza di AC (e di BC). Scegliamo un sistema di riferimento ponendo:   A = (0, 0)   B = (s√3, 0) Per avere le distanze corrette, si può porre:   C = (s√3/2, s/2). Verifichiamo che:   AC = distanza da (0, 0) a (s√3/2, s/2) = s   BC = distanza da (s√3, 0) a (s√3/2, s/2) = s. Si verifica inoltre che l’angolo in C dia cos(∠ACB) = –½, cioè 120°. 4. Si estende la base AB oltre B di un segmento BP = 4 cm. Quindi il punto P ha coordinate:   P = (s√3 + 4, 0). 5. L’area del triangolo APC è data e vale 5√3 cm². Usando le coordinate di A, P, C si può calcolare l’area con la formula del determinante:   Area = ½ |det(P – A, C – A)|.   Calcoliamo:    P – A = (s√3 + 4, 0),    C – A = (s√3/2, s/2).   Il determinante è:    (s√3 + 4)·(s/2) – 0 · (s√3/2) = s(s√3 + 4)/2.   Pertanto:    ½ · [s(s√3 + 4)/2] = s(s√3 + 4)/4 = 5√3.   Da cui:    s(s√3 + 4) = 20√3. 6. Risolviamo l’equazione s(s√3 + 4) = 20√3:   s²√3 + 4s – 20√3 = 0.   Dividendo per √3:    s² + (4/√3)s – 20 = 0.   Utilizzando la formula risolutiva:    s = [–(4/√3) ± √((4/√3)² + 4·20)] / 2.   Calcoliamo:    (4/√3)² = 16/3  e  4·20 = 80,    √(16/3 + 80) = √((16 + 240)/3) = √(256/3) = 16/√3.   Scegliamo il segno positivo (poiché la lunghezza deve essere positiva):    s = [–(4/√3) + (16/√3)]/2 = (12/√3)/2 = 6/√3 = 2√3. 7. Ora, ricaviamo i lati:   AC = BC = 2√3 cm,   AB = s√3 = 2√3·√3 = 6 cm. 8. Il perimetro del triangolo ABC è:   P = AB + AC + BC = 6 + 2√3 + 2√3 = 6 + 4√3 cm. Pertanto, il perimetro richiesto è (4√3 + 6) cm.