\( Z = \frac { \frac { 1 } { \sqrt { a } + \sqrt { a + b } } + \frac { 1 } { \sqrt { a } - \sqrt { a - b } } } { 1 + \sqrt { \frac { a + b } { a - b } } } \)

1. Dada la expresión \[ Z = \frac {\frac {1}{\sqrt{a}+\sqrt{a+b}} + \frac {1}{\sqrt{a}-\sqrt{a-b}}}{1+\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}}, \] primero centramos nuestra atención en el numerador. 2. Sea \[ I = \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a+b}}. \] Multiplicamos el numerador y denominador por el conjugado \(\sqrt{a}-\sqrt{a+b}\): \[ I = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{a+b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{a+b})(\sqrt{a}-\sqrt{a+b})}. \] Recordando que \[ (\sqrt{a}+\sqrt{a+b})(\sqrt{a}-\sqrt{a+b}) = a-(a+b) = -b, \] se tiene \[ I = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{a+b}}{-b} = \frac{\sqrt{a+b}-\sqrt{a}}{b}. \] 3. Sea \[ II = \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{a-b}}. \] Multiplicamos por el conjugado \(\sqrt{a}+\sqrt{a-b}\): \[ II = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{a-b}}{(\sqrt{a}-\sqrt{a-b})(\sqrt{a}+\sqrt{a-b})}. \] Como \[ (\sqrt{a}-\sqrt{a-b})(\sqrt{a}+\sqrt{a-b}) = a-(a-b)= b, \] se tiene \[ II = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{a-b}}{b}. \] 4. Sumamos \( I \) e \( II \) en el numerador: \[ I + II = \frac{\sqrt{a+b}-\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt{a-b}}{b} = \frac{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}{b}. \] 5. La expresión para \( Z \) queda: \[ Z = \frac{\frac{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}{b}}{1+\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}} = \frac{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}{b\left(1+\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}\right)}. \] 6. Para simplificar la parte del denominador, expresamos \[ 1+\sqrt{\frac{a+b}{a-b}} = \frac{\sqrt{a-b}+\sqrt{a+b}}{\sqrt{a-b}}, \] ya que al obtener denominador común se tiene: \[ 1 = \frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b}}. \] 7. Sustituyendo, \( Z \) se transforma en: \[ Z = \frac{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}{b\left(\frac{\sqrt{a-b}+\sqrt{a+b}}{\sqrt{a-b}}\right)} = \frac{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}{b}\cdot\frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b}+\sqrt{a+b}}. \] 8. Se cancelan los términos \(\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}\) en numerador y denominador, obteniendo: \[ Z = \frac{\sqrt{a-b}}{b}. \] La solución final es: \[ Z = \frac{\sqrt{a-b}}{b}. \]