E 177. Trasforma ciascuna delle seguenti uguaglianze in proporzione. $$ \begin{array}{ll} ext { a. } 9 \cdot 4=3 \cdot 12 & \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{6}=\frac{5}{2} \cdot \frac{7}{45} \ ext { b. } \frac{1}{4} \cdot 0, \overline{1}=0,1 \overline{6} \cdot 0,1 \overline{6} & 0, \overline{3} \cdot 1, \overline{6}=0,8 \overline{3} \cdot 0, \overline{6}\end{array} $$

Question

E 177. Trasforma ciascuna delle seguenti uguaglianze in proporzione. $$ \begin{array}{ll}	ext { a. } 9 \cdot 4=3 \cdot 12 & \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{6}=\frac{5}{2} \cdot \frac{7}{45} \ 	ext { b. } \frac{1}{4} \cdot 0, \overline{1}=0,1 \overline{6} \cdot 0,1 \overline{6} & 0, \overline{3} \cdot 1, \overline{6}=0,8 \overline{3} \cdot 0, \overline{6}\end{array} $$

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Certo! Ecco come trasformare ciascuna delle uguaglianze fornite in proporzioni:

### a.

1. **Uguaglianza:** $$9 \cdot 4 = 3 \cdot 12$$  
   **Proporzione:**  
   $$
   \frac{9}{3} = \frac{12}{4} \quad \text{oppure} \quad 9 : 3 = 12 : 4
   $$

2. **Uguaglianza:** $$\frac{1}{3} \cdot \frac{7}{6} = \frac{5}{2} \cdot \frac{7}{45}$$  
   **Proporzione:**  
   $$
   \frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{2}} = \frac{\frac{7}{45}}{\frac{7}{6}} \quad \text{oppure} \quad \frac{1}{3} : \frac{5}{2} = \frac{7}{45} : \frac{7}{6}
   $$

### b.

Prima di trasformare le uguaglianze in proporzioni, convertiamo i decimali periodici in frazioni:

- $$0,\overline{1} = \frac{1}{9}$$
- $$0,1\overline{6} = \frac{1}{6}$$
- $$0,\overline{3} = \frac{1}{3}$$
- $$1,\overline{6} = \frac{5}{3}$$
- $$0,8\overline{3} = \frac{5}{6}$$
- $$0,\overline{6} = \frac{2}{3}$$

1. **Uguaglianza:** $$\frac{1}{4} \cdot 0,\overline{1} = 0,1\overline{6} \cdot 0,1\overline{6}$$  
   **Proporzione:**  
   $$
   \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{6}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{9}} \quad \text{oppure} \quad \frac{1}{4} : \frac{1}{6} = \frac{1}{6} : \frac{1}{9}
   $$

2. **Uguaglianza:** $$0,\overline{3} \cdot 1,\overline{6} = 0,8\overline{3} \cdot 0,\overline{6}$$  
   **Proporzione:**  
   $$
   \frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{6}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{3}} \quad \text{oppure} \quad \frac{1}{3} : \frac{5}{6} = \frac{2}{3} : \frac{5}{3}
   $$

### Riepilogo delle Proporzioni

**a.**
$$
9 : 3 = 12 : 4
$$
$$
\frac{1}{3} : \frac{5}{2} = \frac{7}{45} : \frac{7}{6}
$$

**b.**
$$
\frac{1}{4} : \frac{1}{6} = \frac{1}{6} : \frac{1}{9}
$$
$$
\frac{1}{3} : \frac{5}{6} = \frac{2}{3} : \frac{5}{3}
$$

Queste proporzioni rispettano la relazione dei prodotti medi con i prodotti estremi, confermando l'equivalenza delle uguaglianze originali.
Ecco le proporzioni trasformate dalle uguaglianze fornite: **a.** $$ 9 : 3 = 12 : 4 $$ $$ \frac{1}{3} : \frac{5}{2} = \frac{7}{45} : \frac{7}{6} $$ **b.** $$ \frac{1}{4} : \frac{1}{6} = \frac{1}{6} : \frac{1}{9} $$ $$ \frac{1}{3} : \frac{5}{6} = \frac{2}{3} : \frac{5}{3} $$ Queste proporzioni mostrano come le uguaglianze originali possono essere rappresentate come relazioni di proporzione tra i numeri.

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