ontexto 1 Contexto 1: En la ingenieria, la integral definida puede usarse para calcular los costos de producción en función de la cantidad de bienes producidos. Suponga que el costo de producción por unidad de un bien está dado por una función continua $$ C(X) $$, que varia según la cantidad producida $$ x $$. El costo total de producir entre $$ x=0 y x=b $$ uridades se puede calcular medionte la integral definida: $$ C_{ ext {toral }}=\int_{a}^{b} C(x) d x $$ donde $$ C(x) $$ representa el costo por unidad para una cantidad $$ x $$ de bienes. Situaccion 1 Situaciön 1 Suponga que el costo de producción por unidad de un articulo se describe por la función $$ C(X)=5 x+2 $$, donde $$ x $$ es el número de unidaries producidas $$ y $$ el costo por unidad aumenta linealmente con $$ x $$. Se quiere celcular el costo total de producir entre 10 y 20 unidades de este artículo. - Defina la integral que debe plantear para el costo total - Resuelva la integral para obtener el costo total de producción entre 10 ソ 20 unidades. - Represente su solucion usardo GeoGebra. - Interprete el resultado y describa cómo este tipo de calculo permite tomar decisiones en la planificación de un producto.

Question

ontexto 1 Contexto 1: En la ingenieria, la integral definida puede usarse para calcular los costos de producción en función de la cantidad de bienes producidos. Suponga que el costo de producción por unidad de un bien está dado por una función continua $$ C(X) $$, que varia según la cantidad producida $$ x $$. El costo total de producir entre $$ x=0 y x=b $$ uridades se puede calcular medionte la integral definida: $$ C_{	ext {toral }}=\int_{a}^{b} C(x) d x $$ donde $$ C(x) $$ representa el costo por unidad para una cantidad $$ x $$ de bienes. Situaccion 1 Situaciön 1 Suponga que el costo de producción por unidad de un articulo se describe por la función $$ C(X)=5 x+2 $$, donde $$ x $$ es el número de unidaries producidas $$ y $$ el costo por unidad aumenta linealmente con $$ x $$. Se quiere celcular el costo total de producir entre 10 y 20 unidades de este artículo. - Defina la integral que debe plantear para el costo total - Resuelva la integral para obtener el costo total de producción entre 10 ソ 20 unidades. - Represente su solucion usardo GeoGebra. - Interprete el resultado y describa cómo este tipo de calculo permite tomar decisiones en la planificación de un producto.

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1. **Definición de la Integral**

Se tiene la función $$ C(x)=5x+2 $$ que representa el costo por unidad para $$ x $$ unidades. Para calcular el costo total al producir entre 10 y 20 unidades, se plantea la siguiente integral definida:

$$
   C_{\text{total}} = \int_{10}^{20} (5x+2) \, dx
   $$

2. **Resolución de la Integral**

Para evaluar la integral, primero se halla la antiderivada de $$ 5x+2 $$:

$$
   \int (5x+2) \, dx = \frac{5}{2}x^2 + 2x + C
   $$

Ahora se evalúa la antiderivada en los límites de integración:

$$
   C_{\text{total}} = \left[\frac{5}{2}x^2 + 2x\right]_{10}^{20} = \left(\frac{5}{2}(20)^2 + 2(20)\right) - \left(\frac{5}{2}(10)^2 + 2(10)\right)
   $$

Se realizan los cálculos:

- Para $$ x=20 $$:

$$
     \frac{5}{2}(20)^2 + 2(20) = \frac{5}{2}(400) + 40 = 1000 + 40 = 1040
     $$

- Para $$ x=10 $$:

$$
     \frac{5}{2}(10)^2 + 2(10) = \frac{5}{2}(100) + 20 = 250 + 20 = 270
     $$

Entonces,

$$
   C_{\text{total}} = 1040 - 270 = 770
   $$

Por lo tanto, el costo total de producción entre 10 y 20 unidades es $$ 770 $$ unidades monetarias.

3. **Representación en GeoGebra**

Para representar esta solución en GeoGebra, siga estos pasos:

- Ingrese la función $$ f(x)=5x+2 $$ en la entrada de GeoGebra.
   - Use la herramienta de "Integral definida" (o escriba directamente en la entrada: `Integral[f(x), 10, 20]`) para sombrear el área bajo la curva entre $$ x=10 $$ y $$ x=20 $$.
   - Verifique que el área sombreada corresponda al valor $$ 770 $$ (dependiendo de la escala, esto representa el costo total acumulado).

4. **Interpretación del Resultado**

El resultado indica que producir entre 10 y 20 unidades tiene un costo total acumulado de $$ 770 $$ unidades monetarias. Este tipo de cálculo permite a los ingenieros y planificadores de producción evaluar el costo variable respecto al número de unidades producidas. Con esta información se pueden:

- Tomar decisiones sobre la cantidad óptima de producción.
   - Analizar la escala de producción y ajustar procesos para maximizar la eficiencia y minimizar costos.
   - Planificar presupuestos y evaluar la rentabilidad del proceso productivo.

Esta aplicación de la integral definida demuestra cómo el cálculo integral proporciona una herramienta poderosa para modelar y resolver problemas reales en la planificación y gestión de procesos de producción.
Para calcular el costo total de producir entre 10 y 20 unidades, se usa la integral definida de la función $$ C(x) = 5x + 2 $$: $$ C_{\text{total}} = \int_{10}^{20} (5x + 2) \, dx = 770 $$ El costo total es $$ 770 $$ unidades monetarias.

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