7.) En cada caso, indique la propiedad o ley que aplica para demostrar: a) $$ \forall a, b \in R^{+}: $$Si $$ a+2 b1 \wedge a2 b \Rightarrow a^{2}-4 b^{2}a-2 b $$ Demostración $$ a+2 b1 \wedge a-2 b0 $$ $$ (a+2 b)(a-2 b)1 \cdot(a-2 b)- $$ $$ \left(a^{2}-4 b^{2}\right)(a-2 b) $$

Question

7.) En cada caso, indique la propiedad o ley que aplica para demostrar: a) $$ \forall a, b \in R^{+}: $$Si $$ a+2 b>1 \wedge a>2 b \Rightarrow a^{2}-4 b^{2}>a-2 b $$ Demostración $$ a+2 b>1 \wedge a-2 b>0 $$ $$ (a+2 b)(a-2 b)>1 \cdot(a-2 b)- $$ $$ \left(a^{2}-4 b^{2}\right)>(a-2 b) $$

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$$
\textbf{Paso 1:}
$$
Observamos que se nos dan dos condiciones:
$$
a + 2b > 1 \quad \text{y} \quad a - 2b > 0.
$$

$$
\textbf{Paso 2:}
$$
Se utiliza la **propiedad multiplicativa de las desigualdades**. Es decir, si $$ x > 1 $$ y $$ y > 0 $$, entonces al multiplicar ambos lados de la desigualdad $$ x > 1 $$ por $$ y $$ se obtiene:
$$
x \cdot y > 1 \cdot y.
$$
Aplicando esto con $$ x = a+2b $$ y $$ y = a-2b $$, se tiene:
$$
(a+2b)(a-2b) > 1\cdot(a-2b).
$$

$$
\textbf{Paso 3:}
$$
Se reconoce que el lado izquierdo se puede reescribir usando la **fórmula de diferencia de cuadrados**:
$$
(a+2b)(a-2b) = a^{2}-4b^{2}.
$$

$$
\textbf{Conclusión:}
$$
Por lo tanto, de las dos desigualdades originales, se deduce:
$$
a^{2}-4b^{2} > a-2b.
$$

La demostración aplica la propiedad multiplicativa de las desigualdades (multiplicando por un número positivo se mantiene la dirección de la desigualdad) y la fórmula de la diferencia de cuadrados.
La demostración utiliza la **propiedad multiplicativa de las desigualdades** y la **fórmula de diferencia de cuadrados** para llegar a la conclusión que $$ a^{2} - 4b^{2} > a - 2b $$.

7.) En cada caso, indique la propiedad o ley que aplica para demostrar:
a) Si
Demostración

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7.) En cada caso, indique la propiedad o ley que aplica para demostrar: a) Si Demostración