Ejercicios En los siguientes incisos, verificar que la función dada es solución de la ii) $$ y=C e^{-2 x}+\frac{1}{3} e^{x} \quad ; y^{\prime}+2 y=e^{x} $$ iii) $$ y=2+C \sqrt{1+x^{2}} \quad ; \quad\left(1+x^{2}\right) y^{\prime}-x y=-2 x $$ iv) $$ y=e^{x} \int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t+C e^{x} \quad ; y^{\prime}-y=e^{x+x^{2}} $$ v) $$ y=x \sqrt{1-x^{2}} \quad ; \quad y y^{\prime}=x-2 x^{3} $$ vi) $$ y=x \int \frac{e^{x}}{x} d x \quad ; x y^{\prime}-y=x e^{x} $$

Question

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**ii)**  
Función candidata:  
$$
y = C e^{-2x} + \frac{1}{3} e^x  
$$  
Ecuación diferencial:  
$$
y' + 2y = e^x  
$$

1. Calculemos la derivada de $$y$$:
   $$
   y' = \frac{d}{dx}\left(C e^{-2x}\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3} e^x\right)
   = -2C e^{-2x} + \frac{1}{3} e^x.
   $$

2. Sustituyendo en la ecuación:
   $$
   y' + 2y = \left(-2C e^{-2x} + \frac{1}{3} e^x\right) + 2\left(C e^{-2x} + \frac{1}{3} e^x\right).
   $$
   
3. Simplificando:
   $$
   y' + 2y = \left(-2C e^{-2x} + 2C e^{-2x}\right) + \left(\frac{1}{3} e^x + \frac{2}{3} e^x\right) = e^x.
   $$

Por lo tanto, la función dada es solución de la ecuación.

---

**iii)**  
Función candidata:  
$$
y = 2 + C \sqrt{1+x^2}
$$  
Ecuación diferencial:  
$$
(1+x^2)y' - xy = -2x
$$

1. Calculemos la derivada de $$y$$:
   $$
   y' = \frac{d}{dx}\left(2\right) + \frac{d}{dx}\left(C\sqrt{1+x^2}\right) = 0 + C \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x = C \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.
   $$

2. Sustituyendo en la parte izquierda de la ecuación:
   $$
   (1+x^2)y' = (1+x^2) \cdot \left(C \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right) = Cx\sqrt{1+x^2}.
   $$

3. Además, calculamos:
   $$
   xy = x\left(2 + C \sqrt{1+x^2}\right) = 2x + Cx\sqrt{1+x^2}.
   $$

4. Entonces:
   $$
   (1+x^2)y' - xy = Cx\sqrt{1+x^2} - \left(2x + Cx\sqrt{1+x^2}\right) = -2x.
   $$

Esto verifica que la función es solución.

---

**iv)**  
Función candidata:  
$$
y = e^x \int_{0}^{x} e^{t^2} \, dt + C e^x
$$  
Ecuación diferencial:  
$$
y' - y = e^{x+x^2}
$$

1. Sea:
   $$
   I(x)=\int_{0}^{x} e^{t^2} \, dt,
   $$
   de modo que
   $$
   y = e^x I(x) + C e^x.
   $$

2. Derivamos $$y$$ utilizando la regla del producto:
   $$
   y' = \frac{d}{dx}\left(e^x I(x)\right) + \frac{d}{dx}\left(C e^x\right)
   = e^x I(x) + e^x I'(x) + C e^x.
   $$
   
   Recordando que por el teorema fundamental del cálculo:
   $$
   I'(x) = e^{x^2},
   $$
   tenemos:
   $$
   y' = e^x I(x) + e^x e^{x^2} + C e^x = e^x I(x) + e^{x+x^2} + C e^x.
   $$

3. Restamos:
   $$
   y' - y = \left(e^x I(x) + e^{x+x^2} + C e^x\right) - \left(e^x I(x) + C e^x\right) = e^{x+x^2}.
   $$

Se verifica así que la función es solución.

---

**v)**  
Función candidata:  
$$
y = x\sqrt{1-x^2}
$$  
Ecuación diferencial:
$$
y\,y' = x - 2x^3
$$

1. Utilizamos la regla del producto para derivar $$y$$. Sea:
   $$
   u(x) = x,\quad v(x) = \sqrt{1-x^2} = (1-x^2)^{1/2}.
   $$
   
2. Derivadas:
   $$
   u'(x) = 1,
   $$
   $$
   v'(x) = \frac{1}{2}(1-x^2)^{-1/2}(-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.
   $$

3. Entonces:
   $$
   y' = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)= \sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}.
   $$

4. Multiplicamos $$y$$ por $$y'$$:
   $$
   y\,y' = x\sqrt{1-x^2}\left(\sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\right)
   = x\left[(\sqrt{1-x^2})^2 - x^2\right].
   $$

5. Observamos que:
   $$
   (\sqrt{1-x^2})^2 = 1-x^2,
   $$
   por lo que:
   $$
   y\,y' = x\left[(1-x^2) - x^2\right] = x(1-2x^2)= x - 2x^3.
   $$

Se cumple la ecuación diferencial.

---

**vi)**  
Función candidata:  
$$
y = x \int \frac{e^x}{x} \, dx
$$
Ecuación diferencial:
$$
xy' - y = x e^x
$$

1. Sea:
   $$
   F(x)=\int \frac{e^x}{x}\, dx.
   $$
   Así, la función se escribe:
   $$
   y = x F(x).
   $$

2. Derivemos $$y$$ usando la regla del producto:
   $$
   y' = \frac{d}{dx}\left(x F(x)\right)= F(x) + x F'(x).
   $$
   
   Notemos que:
   $$
   F'(x)=\frac{e^x}{x},
   $$
   por lo que:
   $$
   y' = F(x) + x \cdot \frac{e^x}{x} = F(x) + e^x.
   $$

3. Multiplicando por $$x$$:
   $$
   xy' = xF(x) + x e^x.
   $$
   
4. Ahora, restamos:
   $$
   xy' - y = \left(xF(x)+ x e^x\right) - x F(x)= x e^x.
   $$

Se verifica la ecuación diferencial.

**ii)** La función $$ y = C e^{-2x} + \frac{1}{3} e^x $$ es solución de la ecuación $$ y' + 2y = e^x $$. --- **iii)** La función $$ y = 2 + C \sqrt{1+x^2} $$ es solución de la ecuación $$ (1+x^2)y' - xy = -2x $$. --- **iv)** La función $$ y = e^x \int_{0}^{x} e^{t^2} \, dt + C e^x $$ es solución de la ecuación $$ y' - y = e^{x+x^2} $$. --- **v)** La función $$ y = x \sqrt{1-x^2} $$ es solución de la ecuación $$ y y' = x - 2x^3 $$. --- **vi)** La función $$ y = x \int \frac{e^x}{x} \, dx $$ es solución de la ecuación $$ xy' - y = x e^x $$.

Ejercicios
En los siguientes incisos, verificar que la función dada es solución de la
ii)
iii)
iv)
v)
vi)

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