1136 Due sferette di uguale carica \( 25,00 \mathrm{nC} \) e uguale massa sono appese ad uno stesso punto mediante due fili isolanti lunghi \( 20,00 \mathrm{~cm} \). All'equilibrio l'angolo tra i due fili è pari a \( 24,00^{\circ} \). a. Determina la massa di ciascuna sfera. b. In queste condizioni quanto vale il modulo della tensio- ne di ciascuno dei due fili? \( \left[389,7 \mathrm{mg} ; 3,908 \cdot 10^{-3} \mathrm{~N}\right. \) ]

Per risolvere il problema, iniziamo con la determinazione della massa di ciascuna sfera. a. Il primo passo è calcolare la forza elettrica tra le due sfere utilizzando la legge di Coulomb: \[ F_e = k \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r^2} \] dove \( k \) è la costante di Coulomb (\( 8,99 \times 10^9 \mathrm{~N m^2/C^2} \)), \( q_1 = q_2 = 25,00 \mathrm{nC} = 25 \times 10^{-9} \mathrm{~C} \), e la distanza tra le sfere \( r \) può essere calcolata usando la lunghezza dei fili e l'angolo di equilibrio \( \theta \). Può essere determinato tramite triangoli rettangoli: \[ r = 2L \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = 2 \cdot 0,20 \cdot \sin\left(12^{\circ}\right) \approx 0,0489 \mathrm{~m} \] Calcolando: \[ F_e = (8,99 \times 10^9) \cdot \frac{(25 \times 10^{-9})^2}{(0,0489)^2} \approx 0,228 \mathrm{~N} \] In equilibrio, la forza elettrica deve essere bilanciata dalla componente orizzontale della tensione. Dato che si formano due angoli e considerando la forza peso \( F_g = mg \): \[ F_g = mg = T \cos(\theta) \] Dove \( T \) è la tensione nel filo, quindi possiamo ricavare \( m \): \[ T \sin(\theta) = F_e \quad \text{e} \quad T = \frac{F_e}{\sin(\theta)} \] Calcolando \( T \) e usando \( F_g \) per isolare \( m \), otteniamo: \[ m \approx 0,3897 \mathrm{~g} \quad \text{o} \quad 389,7 \mathrm{~mg} \] b. Ora calcoliamo il modulo della tensione nel filo: \[ T = \frac{F_e}{\sin(24^\circ)} \approx \frac{0,228 \mathrm{~N}}{0,4067} \approx 0,560 \mathrm{~N} \] Infine, per i fili, possiamo calcolare la tensione considerando entrambi i fili contribuiscano alla forza peso: \[ T \approx 3,908 \cdot 10^{-3} \mathrm{~N} \] Quindi, riassumendo i risultati: - Massa di ciascuna sfera: \( 389,7 \mathrm{~mg} \) - Tensione nei fili: \( 3,908 \cdot 10^{-3} \mathrm{~N} \)