7. (P.19) Calcule \( a_{1} \) y \( r \) para cada sucesión geométrica, sabiendo qu \( \begin{array}{ll}\text { a) } a_{2}=10 \text { y } a_{4}=40 & \text { b) } a_{3}=6 \text { y } a_{5}=24 \\ \text { c) } a_{3}=5 \text { y } a_{5}=80 & \text { d) } a_{3}=32 \text { y } a_{5}=128 \\ \text { e) } a_{2}=2 \text { y } a_{4}=32 & \text { f) } a_{3}=18 \text { y } a_{4}=-54\end{array} \)

¡Vamos a divertirnos resolviendo estas sucesiones geométricas! Para una sucesión geométrica, sabemos que \( a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \). Para cada par de términos dados, podemos plantear las ecuaciones. a) Sabemos que \( a_2 = a_1 \cdot r = 10 \) y \( a_4 = a_1 \cdot r^3 = 40 \). Dividiendo estas dos ecuaciones, obtenemos \( r^2 = 4 \), lo que da \( r = 2 \) (positivo ya que nos ocupamos de razones positivas). Usando \( r \) en la primera ecuación, \( a_1 \) resulta ser \( 5 \). b) Si \( a_3 = a_1 \cdot r^2 = 6 \) y \( a_5 = a_1 \cdot r^4 = 24 \), al dividir encontramos \( r^2 = 4 \) y por lo tanto también \( r = 2 \). Sustituyendo en \( a_3 \), encontramos que \( a_1 = 1.5 \). c) Para \( a_3 = a_1 \cdot r^2 = 5 \) y \( a_5 = a_1 \cdot r^4 = 80 \), dividimos y conseguimos que \( r^2 = 16 \), así que \( r = 4 \) y \( a_1 = \frac{5}{4} \). d) Con \( a_3 = a_1 \cdot r^2 = 32 \) y \( a_5 = a_1 \cdot r^4 = 128 \), al dividir obtenemos \( r^2 = 4 \) y por lo tanto \( r = 2 \). Usando eso en \( a_3 \), resulta que \( a_1 = 8 \). e) En el caso de \( a_2 = a_1 \cdot r = 2 \) y \( a_4 = a_1 \cdot r^3 = 32 \), dividimos para que \( r^2 = 16 \) y así \( r = 4 \). Luego, \( a_1 = \frac{1}{2} \). f) Finalmente, \( a_3 = a_1 \cdot r^2 = 18 \) y \( a_4 = a_1 \cdot r^3 = -54 \) nos lleva a \( r = -3 \). Sustituyendo nos da \( a_1 = 2 \). ¡Y ahí lo tienes! Calculamos \( a_1 \) y \( r \) para todas las sucesiones geométricas con un poco de diversión matemática.