423. Vektorja $$ \vec{a}=(1,-2, x+3) $$ in $$ \vec{b}=(2, x+4,0) $$ sta stranici paralelograma. Določite $$ x $$ tako, da bo ta paralelogram romb, in izračunajte dolžino njegove osnovnice.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

**Korak 1:** Dolžina vektorja $$ \vec{a} $$ je  
$$
|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (x+3)^2} = \sqrt{1 + 4 + (x+3)^2} = \sqrt{5 + (x+3)^2}.
$$

**Korak 2:** Dolžina vektorja $$ \vec{b} $$ je  
$$
|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (x+4)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + (x+4)^2}.
$$

**Korak 3:** Ker je paralelogram romb, sta dolžini stranic enaki, torej velja  
$$
\sqrt{5 + (x+3)^2} = \sqrt{4 + (x+4)^2}.
$$  
Kvadriramo obe strani:  
$$
5 + (x+3)^2 = 4 + (x+4)^2.
$$

**Korak 4:** Razširimo kvadrate:  
$$
(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9,
$$  
$$
(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16.
$$  
Vstavimo v enačbo:  
$$
5 + x^2 + 6x + 9 = 4 + x^2 + 8x + 16.
$$

**Korak 5:** Poenostavimo obe strani:  
$$
x^2 + 6x + 14 = x^2 + 8x + 20.
$$  
Odštejemo $$ x^2 $$ in uredimo enačbo:  
$$
6x + 14 = 8x + 20.
$$

**Korak 6:** Rešimo enačbo:  
$$
14 - 20 = 8x - 6x \quad \Rightarrow \quad -6 = 2x,
$$  
$$
x = -3.
$$

**Korak 7:** Vstavimo $$ x = -3 $$ za izračun dolžine osnovnice.  
Vektor $$ \vec{a} $$ postane  
$$
\vec{a} = (1, -2, (-3)+3) = (1, -2, 0),
$$  
in njegova dolžina:  
$$
|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}.
$$

**Odgovor:** $$ x = -3 $$ in dolžina osnovnice paralelograma je $$ \sqrt{5} $$.
$$ x = -3 $$ and the length of the parallelogram's base is $$ \sqrt{5} $$.

Vektorja in
sta stranici paralelograma. Določite tako, da
bo ta paralelogram romb, in izračunajte dolžino
njegove osnovnice.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Geometry Questions

Vektorja in sta stranici paralelograma. Določite tako, da bo ta paralelogram romb, in izračunajte dolžino njegove osnovnice.