Espressioni con potenze di radicali emplifica le seguenti espressioni con potenze di radicali. S \( 3\left(1^{\frac{9}{16}}\right)^{2} \cdot\left(1^{\frac{3}{16}}\right)^{2} ;(1 \sqrt{5})^{3}:\left(1^{3} 25\right)^{2} ; \quad\left(\sqrt[3]{\frac{1}{3}}\right)^{2}: \sqrt{\frac{1}{27}} \)

Iniziamo a semplificare l'espressione \( 3\left(1^{\frac{9}{16}}\right)^{2} \cdot\left(1^{\frac{3}{16}}\right)^{2} \). Ricordiamo che qualsiasi potenza di \( 1 \) è sempre \( 1 \), quindi sia \( 1^{\frac{9}{16}} \) che \( 1^{\frac{3}{16}} \) diventano semplicemente \( 1 \). Pertanto, l'espressione si riduce a \( 3 \cdot 1^{2} \cdot 1^{2} = 3 \). Per quanto riguarda l'espressione \( (1 \sqrt{5})^{3} : \left(1^{3} 25\right)^{2} \), possiamo semplificare. \( 1 \sqrt{5} \) può essere scritto come \( \sqrt{5} \), quindi \( (\sqrt{5})^{3} = 5^{\frac{3}{2}} \). Per la parte destra, \( \left(1^{3} 25\right)^{2} = 25^{2} = 625 \). Così l'espressione diventa \( \frac{5^{\frac{3}{2}}}{625} = \frac{5^{\frac{3}{2}}}{5^{4}} = 5^{\frac{3}{2}-4} = 5^{-\frac{5}{2}} \). Infine, per l'espressione \( \left(\sqrt[3]{\frac{1}{3}}\right)^{2} : \sqrt{\frac{1}{27}} \), iniziamo con il numeratore: \( \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{2}{3}} \) che è equivalente a \( \frac{1^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3^{\frac{2}{3}}} \). Per il denominatore, \( \sqrt{\frac{1}{27}} = \frac{1}{\sqrt{27}} = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} \). Quindi, l'espressione finale diventa \( \frac{\frac{1}{3^{\frac{2}{3}}}}{\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}} = 3^{\frac{3}{2}-\frac{2}{3}} \). Calcoliamo gli esponenti: \( \frac{3}{2} = \frac{9}{6} \) e \( \frac{2}{3} = \frac{4}{6} \), quindi: \( 3^{\frac{9}{6} - \frac{4}{6}} = 3^{\frac{5}{6}} \). Ecco quindi le espressioni semplificate!