Evalúe cada una de las siguientes integrales $$ \int x \operatorname{sen}\left(x^{2}\right) d x $$ $$ \int x^{2} e^{x^{3}} d x $$ $$ \int e^{x} \cos \left(e^{x}\right) d x $$

Question

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Consideremos cada integral por separado.

1) Sea
$$
\int x\,\operatorname{sen}(x^2)\,dx.
$$
Realizamos el cambio de variable $$ u = x^2 $$, de donde se tiene
$$
du = 2x\,dx \quad \Longrightarrow \quad x\,dx = \frac{du}{2}.
$$
La integral se transforma en
$$
\int x\,\operatorname{sen}(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\int \operatorname{sen}(u)\,du.
$$
Integrando,
$$
\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u) + C,
$$
por lo que
$$
\frac{1}{2}\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\frac{1}{2}\cos(u) + C.
$$
Reemplazando $$ u = x^2 $$, la respuesta es:
$$
\boxed{-\frac{1}{2}\cos(x^2) + C.}
$$

2) Sea
$$
\int x^2\,e^{x^3}\,dx.
$$
Tomamos el cambio de variable $$ u = x^3 $$, de donde se obtiene
$$
du = 3x^2\,dx \quad \Longrightarrow \quad x^2\,dx = \frac{du}{3}.
$$
La integral se convierte en
$$
\int x^2\,e^{x^3}\,dx = \frac{1}{3}\int e^u\,du.
$$
Integrando,
$$
\int e^u\,du = e^u + C,
$$
entonces,
$$
\frac{1}{3}\int e^u\,du = \frac{1}{3}e^u + C.
$$
Reemplazando $$ u = x^3 $$, la respuesta es:
$$
\boxed{\frac{1}{3}e^{x^3} + C.}
$$

3) Sea
$$
\int e^{x}\cos\left(e^{x}\right)\,dx.
$$
Realizamos el cambio de variable $$ u = e^{x} $$, lo que implica
$$
du = e^{x}\,dx.
$$
La integral se simplifica a
$$
\int \cos(u)\,du.
$$
Integrando,
$$
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C.
$$
Reemplazando $$ u = e^{x} $$, obtenemos:
$$
\boxed{\sin(e^{x}) + C.}
$$
1. $$ \int x\,\operatorname{sen}(x^2)\,dx = -\frac{1}{2}\cos(x^2) + C $$ 2. $$ \int x^2\,e^{x^3}\,dx = \frac{1}{3}e^{x^3} + C $$ 3. $$ \int e^{x}\cos(e^{x})\,dx = \sin(e^{x}) + C $$

Evalúe cada una de las siguientes integrales

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