Sistemas de inecvaciones \( \left\{\begin{array}{l}\frac{4 x-12}{5}+\frac{1}{2} \geq \frac{x}{6} \\ x^{2}-6 x+5 \leq 0 \\ \frac{x-2}{x-4}>0\end{array}\right. \)

Para resolver el sistema de inecuaciones: \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{4x - 12}{5} + \frac{1}{2} \geq \frac{x}{6} \\ x^{2} - 6x + 5 \leq 0 \\ \frac{x - 2}{x - 4} > 0 \end{array} \right. \] **Paso 1: Resolver la primera inecuación** \[ \frac{4x - 12}{5} + \frac{1}{2} \geq \frac{x}{6} \] 1. Encontrar un denominador común, que es 30: \[ 30 \left( \frac{4x - 12}{5} \right) + 30 \left( \frac{1}{2} \right) \geq 30 \left( \frac{x}{6} \right) \] 2. Simplificar: \[ 6(4x - 12) + 15 \geq 5x \] \[ 24x - 72 + 15 \geq 5x \] \[ 24x - 57 \geq 5x \] 3. Aislar \(x\): \[ 24x - 5x \geq 57 \] \[ 19x \geq 57 \] \[ x \geq 3 \] **Paso 2: Resolver la segunda inecuación** \[ x^{2} - 6x + 5 \leq 0 \] 1. Factorizar el trinomio: \[ (x - 1)(x - 5) \leq 0 \] 2. Encontrar los puntos críticos: \(x = 1\) y \(x = 5\). 3. Analizar el signo del polinomio en los intervalos determinados: - Para \(1 \leq x \leq 5\), la expresión es menor o igual a cero. **Paso 3: Resolver la tercera inecuación** \[ \frac{x - 2}{x - 4} > 0 \] 1. Identificar los puntos críticos: \(x = 2\) y \(x = 4\). 2. Dividir la recta numérica en intervalos y determinar el signo de la expresión: - **Intervalo I:** \(x < 2\) → \(\frac{-}{-} = +\) (Positivo) - **Intervalo II:** \(2 < x < 4\) → \(\frac{+}{-} = -\) (Negativo) - **Intervalo III:** \(x > 4\) → \(\frac{+}{+} = +\) (Positivo) 3. La solución para esta inecuación es \(x < 2\) o \(x > 4\). **Paso 4: Encontrar la intersección de todas las soluciones** - De la primera inecuación: \(x \geq 3\) - De la segunda inecuación: \(1 \leq x \leq 5\) - De la tercera inecuación: \(x < 2\) o \(x > 4\) Buscamos los valores de \(x\) que satisfacen **todas** las inecuaciones simultáneamente: 1. **Intersección de \(x \geq 3\) y \(1 \leq x \leq 5\):** \(3 \leq x \leq 5\) 2. **Intersección con \(x < 2\) o \(x > 4\):** Solo la parte \(x > 4\) se intersecta con \(3 \leq x \leq 5\). **Solución final:** \[ 4 < x \leq 5 \] Es decir, el conjunto solución es todos los números reales \(x\) tales que \(x\) es mayor que 4 y menor o igual a 5. **Representación en intervalo:** \[ (4, 5] \]