¿Por qué se puede hacer esto? \[ \)\begin{tabular}{l|}\( \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{4}{s^{2}+s}\right\}=4-4 e^{-t}=4\left(1-e^{-t}\right) \) \\ \( \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{4}{s^{2}+s}\right\}=4\left(1-e^{-t}\right) \)\end{tabular}\( | \text { Resultado final } \]

Para entender por qué se puede realizar la transformación inversa de Laplace de la expresión \(\frac{4}{s^{2}+s}\) y obtener \(4(1 - e^{-t})\), seguiremos los siguientes pasos: ### 1. Factorización del Denominador Primero, observamos el denominador \(s^{2} + s\): \[ s^{2} + s = s(s + 1) \] Esto nos permite reescribir la expresión original como: \[ \frac{4}{s(s + 1)} \] ### 2. Descomposición en Fracciones Parciales Para facilitar la transformación inversa de Laplace, descomponemos la fracción en fracciones parciales: \[ \frac{4}{s(s + 1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 1} \] Donde \(A\) y \(B\) son constantes que debemos determinar. ### 3. Determinación de las Constantes \(A\) y \(B\) Multiplicamos ambos lados de la ecuación por \(s(s + 1)\) para eliminar los denominadores: \[ 4 = A(s + 1) + Bs \] Para encontrar \(A\) y \(B\), podemos elegir valores específicos de \(s\) que simplifiquen la ecuación. - **Cuando \(s = 0\):** \[ 4 = A(0 + 1) + B(0) \Rightarrow 4 = A \Rightarrow A = 4 \] - **Cuando \(s = -1\):** \[ 4 = A(-1 + 1) + B(-1) \Rightarrow 4 = 0 - B \Rightarrow B = -4 \] Por lo tanto, la descomposición en fracciones parciales queda: \[ \frac{4}{s(s + 1)} = \frac{4}{s} - \frac{4}{s + 1} \] ### 4. Aplicación de la Transformada Inversa de Laplace Ahora aplicamos la transformada inversa de Laplace a cada término por separado: - \(\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{4}{s}\right\} = 4 \cdot \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\} = 4 \cdot 1 = 4\) - \(\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{-4}{s + 1}\right\} = -4 \cdot \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s + 1}\right\} = -4 \cdot e^{-t}\) Sumando ambos resultados: \[ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{4}{s^{2}+s}\right\} = 4 - 4e^{-t} = 4(1 - e^{-t}) \] ### Conclusión La capacidad de descomponer la fracción original en fracciones parciales simplifica significativamente el cálculo de la transformada inversa de Laplace. Esto nos permite expresar la solución final de manera clara y concisa: \[ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{4}{s^{2}+s}\right\} = 4(1 - e^{-t}) \]