Question
¿Cuál es el rango de \( y=3(x-5)^{2}+10 \) ? \( \{y \in R \mid \square\} \)
Ask by Bates Burton. in Mexico
Mar 09,2025
Upstudy AI Solution
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Answer
El rango de la función \( y = 3(x-5)^2 + 10 \) es todo número real \( y \) mayor o igual a 10.
Solution
1. La función dada es
\[
y = 3(x-5)^2 + 10.
\]
2. Se trata de una parábola cuya forma general es
\[
y = a(x-h)^2 + k,
\]
donde \((h, k)\) es el vértice.
3. En nuestro caso, \( a = 3 \), \( h = 5 \) y \( k = 10 \). Además, como \( a = 3 > 0 \), la parábola abre hacia arriba.
4. El vértice es el punto de mínimo para esta función, es decir, el valor mínimo de \( y \) es \( k = 10 \).
5. Por lo tanto, el rango de la función es
\[
\{y \in \mathbb{R} \mid y \ge 10\}.
\]
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El rango de la función cuadrática \( y=3(x-5)^{2}+10 \) se determina observando que la parte cuadrática \( (x-5)^{2} \) es siempre mayor o igual a 0. Al multiplicar por 3, sigue siendo mayor o igual a 0, por lo que el término \( 3(x-5)^{2} \) es mayor o igual a 0. Sumando 10 a este valor, el mínimo valor que puede alcanzar \( y \) es 10, cuando \( (x-5)^{2} = 0 \). Así que, el rango de la función es \( \{y \in \mathbb{R} \mid y \geq 10\} \).
