Considerando la ecuación de demanda $$ p=-67 / 100 q+126 $$ y la ecuación de oferta $$ =13 / 25 q^{\wedge} 2+36 $$, calcule el punto de equilibrio del mercado; posteriormente calcule el excedente de los consumidores y el excedente de los fabricantes.

Question

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**1. Cálculo del punto de equilibrio**

El equilibrio se obtiene igualando la función de demanda y la función de oferta. Las ecuaciones dadas son:

$$
\text{Demanda: } p = -\frac{67}{100}q + 126,
$$
$$
\text{Oferta: } p = \frac{13}{25}q^2 + 36.
$$

Igualamos ambas expresiones para $$ p $$:

$$
-\frac{67}{100}q + 126 = \frac{13}{25}q^2 + 36.
$$

Llevamos todos los términos a un lado de la ecuación:

$$
\frac{13}{25}q^2 + 36 + \frac{67}{100}q - 126 = 0.
$$

Simplifiquemos la parte constante:

$$
36 - 126 = -90,
$$

de modo que la ecuación se convierte en:

$$
\frac{13}{25}q^2 + \frac{67}{100}q - 90 = 0.
$$

Multiplicamos la ecuación por 100 para eliminar los denominadores:

$$
100\left(\frac{13}{25}q^2\right) + 100\left(\frac{67}{100}q\right) - 100(90) = 0,
$$
$$
4 \cdot 13\, q^2 + 67q - 9000 = 0,
$$
$$
52q^2 + 67q - 9000 = 0.
$$

Usamos la fórmula general para resolver la ecuación cuadrática $$ aq^2 + bq + c = 0 $$:

$$
q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
$$

donde $$ a = 52 $$, $$ b = 67 $$ y $$ c = -9000 $$. Sustituimos:

$$
q = \frac{-67 \pm \sqrt{67^2 - 4 \cdot 52 \cdot (-9000)}}{2\cdot52}.
$$

Calculamos el discriminante:

$$
67^2 = 4489,
$$
$$
-4\cdot 52 \cdot (-9000) = 4\cdot52\cdot9000 = 1872000,
$$
$$
b^2 - 4ac = 4489 + 1872000 = 1876489.
$$

Entonces:

$$
q = \frac{-67 \pm \sqrt{1876489}}{104}.
$$

Como la cantidad debe ser positiva, tomamos el signo “+”:

$$
q^* = \frac{-67 + \sqrt{1876489}}{104}.
$$

Aproximadamente, calculando la raíz cuadrada y la división obtenemos:

$$
q^* \approx 12.525.
$$

Para obtener el precio de equilibrio $$ p^* $$ se sustituye $$ q^* $$ en la ecuación de demanda:

$$
p^* = -\frac{67}{100}(12.525) + 126.
$$

Calculando:

$$
\frac{67}{100}\cdot12.525 \approx 8.398,
$$
$$
p^* \approx 126 - 8.398 \approx 117.602.
$$

Por lo tanto, el punto de equilibrio es:

$$
(q^*,\, p^*) \approx (12.525,\ 117.60).
$$

---

**2. Cálculo del excedente del consumidor (EC)**

El excedente del consumidor es el área del triángulo formado entre la curva de demanda y el precio de equilibrio. La ordenada al origen de la demanda se obtiene al poner $$ q=0 $$:

$$
p = 126.
$$

La base del triángulo es la cantidad de equilibrio $$ q^* $$ y la altura es la diferencia entre el precio máximo que los consumidores están dispuestos a pagar (126) y el precio de equilibrio $$ p^* $$. Entonces:

$$
EC = \frac{1}{2}(q^*)(126-p^*).
$$

Sustituyendo los valores:

$$
EC = \frac{1}{2}(12.525)(126-117.60) \approx \frac{1}{2}(12.525)(8.4).
$$

Calculamos:

$$
12.525 \times 8.4 \approx 105.21,
$$
$$
EC \approx \frac{105.21}{2} \approx 52.605.
$$

---

**3. Cálculo del excedente del productor (EP)**

El excedente del productor se obtiene restando el área bajo la curva de oferta (entre $$ q=0 $$ y $$ q=q^* $$) del ingreso total de los productores al precio de equilibrio. Matemáticamente:

$$
EP = p^*q^* - \int_{0}^{q^*} \left(\frac{13}{25}q^2+36\right)dq.
$$

Calculemos la integral:

$$
\int \left(\frac{13}{25}q^2+36\right)dq = \frac{13}{25}\cdot\frac{q^3}{3}+36q = \frac{13}{75}q^3+36q.
$$

Evaluando de 0 a $$ q^* $$:

$$
\int_{0}^{q^*} \left(\frac{13}{25}q^2+36\right)dq = \frac{13}{75}(q^*)^3+36q^*.
$$

Entonces el excedente del productor es:

$$
EP = p^*q^* - \left[\frac{13}{75}(q^*)^3+36q^*\right].
$$

Sustituyendo $$ q^* \approx 12.525 $$ y $$ p^*\approx 117.60 $$:

1. Calculemos $$ p^*q^* $$:

$$
117.60 \times 12.525 \approx 1473.55.
$$

2. Calculemos la parte de la integral:

- Primero, $$ (12.525)^3 $$. Sabemos que $$ (12.525)^2 \approx 156.875 $$, luego:
     
     $$
     (12.525)^3 \approx 156.875 \times 12.525 \approx 1963.09.
     $$
     
   - Ahora, $$\frac{13}{75}(12.525)^3 \approx \frac{13 \times 1963.09}{75} \approx \frac{25520.17}{75} \approx 340.27.
     $$
     
   - Además, $$ 36q^* = 36\times12.525 \approx 451.0.
     $$
     
   - Sumando ambos términos:
     
     $$
     \frac{13}{75}(12.525)^3+36(12.525) \approx 340.27+451.0 \approx 791.27.
     $$

3. Finalmente, el excedente del productor:

$$
EP \approx 1473.55 - 791.27 \approx 682.28.
$$

---

**Resumen de resultados**

- **Punto de equilibrio:**
  
  $$
  q^* = \frac{-67+\sqrt{1876489}}{104} \approx 12.525,\quad p^* \approx 117.60.
  $$
  
- **Excedente del consumidor:**
  
  $$
  EC \approx 52.61.
  $$
  
- **Excedente del productor:**
  
  $$
  EP \approx 682.28.
  $$
**Punto de Equilibrio:** - Cantidad: $$ q^* \approx 12.525 $$ - Precio: $$ p^* \approx 117.60 $$ **Excedente del Consumidor (EC):** - $$ EC \approx 52.61 $$ **Excedente del Productor (EP):** - $$ EP \approx 682.28 $$

Considerando la ecuación de demanda y la
ecuación de oferta , calcule el punto de equilibrio
del mercado; posteriormente calcule el excedente de los
consumidores y el excedente de los fabricantes.

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