9. Folgende Aufgaben haben ein ganz einfaches Ergebnis. Begründe. $$ \begin{array}{llll} ext { a) } 2^{\log _{2}(7)} & ext { c) } 3^{\log _{3}(\sqrt{12})} & ext { e) } \log _{5}\left(5^{9} ight) & ext { g) } \log \left(10^{-7} ight) \ ext { b) } 2^{\log _{2}\left(u^{2} ight)} & ext { d) } 10^{\log (2)} & ext { f) } \log _{3}\left(3^{\sqrt{2}} ight) & ext { h) } 10^{\log (7,2)}\end{array} $$

Question

9. Folgende Aufgaben haben ein ganz einfaches Ergebnis. Begründe. $$ \begin{array}{llll}	ext { a) } 2^{\log _{2}(7)} & 	ext { c) } 3^{\log _{3}(\sqrt{12})} & 	ext { e) } \log _{5}\left(5^{9}ight) & 	ext { g) } \log \left(10^{-7}ight) \ 	ext { b) } 2^{\log _{2}\left(u^{2}ight)} & 	ext { d) } 10^{\log (2)} & 	ext { f) } \log _{3}\left(3^{\sqrt{2}}ight) & 	ext { h) } 10^{\log (7,2)}\end{array} $$

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Um die Aufgaben zu lösen, nutzen wir einige grundlegende Eigenschaften von Logarithmen und Exponentialfunktionen. Hier sind die Schritte für jede Aufgabe:

### a) $$ 2^{\log_{2}(7)} $$

**Begründung:** 
Die Eigenschaft $$ a^{\log_{a}(b)} = b $$ gilt für jede positive Basis $$ a $$. Hier ist $$ a = 2 $$ und $$ b = 7 $$.

**Ergebnis:** 
$$
2^{\log_{2}(7)} = 7
$$

### b) $$ 2^{\log_{2}(u^{2})} $$

**Begründung:** 
Wieder verwenden wir die Eigenschaft $$ a^{\log_{a}(b)} = b $$. Hier ist $$ b = u^{2} $$.

**Ergebnis:** 
$$
2^{\log_{2}(u^{2})} = u^{2}
$$

### c) $$ 3^{\log_{3}(\sqrt{12})} $$

**Begründung:** 
Wieder gilt $$ a^{\log_{a}(b)} = b $$. Hier ist $$ b = \sqrt{12} $$.

**Ergebnis:** 
$$
3^{\log_{3}(\sqrt{12})} = \sqrt{12}
$$

### d) $$ 10^{\log(2)} $$

**Begründung:** 
Hier gilt ebenfalls $$ a^{\log_{a}(b)} = b $$. Da die Basis 10 ist, ist $$ b = 2 $$.

**Ergebnis:** 
$$
10^{\log(2)} = 2
$$

### e) $$ \log_{5}(5^{9}) $$

**Begründung:** 
Die Eigenschaft $$ \log_{a}(a^{b}) = b $$ gilt hier. Hier ist $$ b = 9 $$.

**Ergebnis:** 
$$
\log_{5}(5^{9}) = 9
$$

### f) $$ \log_{3}(3^{\sqrt{2}}) $$

**Begründung:** 
Wieder gilt $$ \log_{a}(a^{b}) = b $$. Hier ist $$ b = \sqrt{2} $$.

**Ergebnis:** 
$$
\log_{3}(3^{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}
$$

### g) $$ \log(10^{-7}) $$

**Begründung:** 
Hier verwenden wir die Eigenschaft $$ \log(a^{b}) = b \cdot \log(a) $$. Da $$ \log(10) = 1 $$, ist $$ b = -7 $$.

**Ergebnis:** 
$$
\log(10^{-7}) = -7
$$

### h) $$ 10^{\log(7.2)} $$

**Begründung:** 
Wieder gilt $$ a^{\log_{a}(b)} = b $$. Hier ist $$ b = 7.2 $$.

**Ergebnis:** 
$$
10^{\log(7.2)} = 7.2
$$

### Zusammenfassung der Ergebnisse:
- a) $$ 7 $$
- b) $$ u^{2} $$
- c) $$ \sqrt{12} $$
- d) $$ 2 $$
- e) $$ 9 $$
- f) $$ \sqrt{2} $$
- g) $$ -7 $$
- h) $$ 7.2 $$

Jede dieser Aufgaben hat ein einfaches Ergebnis, weil sie auf grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen und Exponentialfunktionen basieren.
The answers are: a) 7 b) $$ u^{2} $$ c) $$ \sqrt{12} $$ d) 2 e) 9 f) $$ \sqrt{2} $$ g) -7 h) 7.2

Folgende Aufgaben haben ein ganz einfaches Ergebnis. Begründe.

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