VRAAG I (GRII DBE NOV 20I7) Gagex $$ f(x)=\frac{-3}{x+2}+1 $$ en $$ g(x)=2^{-x}-4 $$ 4.1 Bepaal $$ f(-3) $$. 4.2 Bepaal $$ x $$ as $$ g(x)=4 $$. 4.3 Skryf dic asimptete van $$ f $$ neer. 4:4 Skryf die wardeversameling van $$ g $$ neer. 4.5 Bepaal die koordinate van die $$ x $$-cn $$ y $$-afsnitte van $$ f $$. 4.6 Bepaal die vergelylking van đie simmetric-as van $$ f $$ met 'n negatiewe gradiënt. Los $$ u $$ antwoord in die vorm $$ y=m x+c $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Hier is die oplossing stap-vir-stap:

Gegee is die funksies  
  f(x) = –3⁄(x + 2) + 1   en  g(x) = 2^(–x) – 4.

─────────────────────────────  
4.1 Bepaal f(–3):

Vervang x = –3 in f(x):  
  f(–3) = –3⁄((–3) + 2) + 1 = –3⁄(–1) + 1 = 3 + 1 = 4.

Dus, f(–3) = 4.

─────────────────────────────  
4.2 Bepaal x so g(x) = 4:

Stel g(x) = 4:  
  2^(–x) – 4 = 4  
Voeg 4 by beide kante:  
  2^(–x) = 8  
Skryf 8 as ’n mag van 2: 8 = 2³  
Dus, 2^(–x) = 2³ wat impliseer –x = 3,  
dus is x = –3.

─────────────────────────────  
4.3 Skryf die asimptote van f neer:

Vir f(x) = –3⁄(x + 2) + 1:  
• Vertikale asimptoot: Die noemer = 0 wanneer x + 2 = 0, dus x = –2.  
• Horisontale asimptoot: Soos x → ±∞, gaan die term –3⁄(x+2) na 0, en f(x) → 1.

Dus, die asimptote is:  
  Verticale: x = –2  
  Horisontale: y = 1

─────────────────────────────  
4.4 Skryf die waardeversameling (range) van g neer:

g(x) = 2^(–x) – 4.  
Let op: 2^(–x) is altyd positief (vir alle reële x), dus 2^(–x) > 0.  
Wanneer x → ∞, dan 2^(–x) → 0 en g(x) → –4, maar –4 word nooit bereik nie.  
Wanneer x → –∞, dan 2^(–x) → ∞ en g(x) → ∞.

Dus, die waardeversameling van g is:  
  { y ∈ ℝ | y > –4 } oftewel (–4, ∞).

─────────────────────────────  
4.5 Bepaal die koördinate van die x- en y-afsnitte van f:

X-afsnit (waar f(x) = 0):  
Los op: –3⁄(x+2) + 1 = 0  
  –3⁄(x+2) = –1  
  3⁄(x+2) = 1  
Dus, x + 2 = 3, wat gee x = 1.  
X-afsnit: (1, 0).

Y-afsnit (waar x = 0):  
Bereken f(0):  
  f(0) = –3⁄(0+2) + 1 = –3⁄2 + 1 = –1.5 + 1 = –0.5  
Y-afsnit: (0, –½).

─────────────────────────────  
4.6 Bepaal die vergelyking van die simmetrie-as van f met 'n negatiewe gradiënt:

Vir f(x) = –3⁄(x+2) + 1 kan ons die grafiek beskou as 'n oordragte hiperbola. Die standaard vorm is  
  y = k + [a⁄(x – h)],  
wat 'n vertikale asimptoot x = h en 'n horisontale asimptoot y = k het. Die punte waar hierdie asimptote kruis (h, k) noem ons die sentrum van die hiperbola.

Hier is:  
  h = –2  en  k = 1.  
So, die sentrum is (–2, 1).

Om die as van simmetrie met negatiewe gradiënt te kry, herskryf ons f(x) in die vorm waarin die sentrum eksplisiet verskyn. Stel:  
  X = x + 2  en  Y = y – 1.  
Dan word f omskryf tot:  
  Y = –3⁄X.

Nou beskou ons die simmetrie van die funksie Y = –3⁄X.  
Vir 'n hiperbola van hierdie tipe is die simmetrie rondom die lyn Y = –X (wat 'n gradiënt van –1 het).

Herstel nou die veranderlikes terug:  
Y = y – 1 en X = x + 2, so die lyn Y = –X word:  
  y – 1 = –(x + 2)  
Los op:  
  y = –x – 2 + 1  
  y = –x – 1.

Dus, die vergelyking van die simmetrie-as van f met 'n negatiewe gradiënt is:  
  y = –x – 1.

─────────────────────────────  
Opsomming van antwoorde:

4.1 f(–3) = 4.  
4.2 g(x) = 4 impliseer x = –3.  
4.3 f se asimptote: vertikaal: x = –2, horisontaal: y = 1.  
4.4 Wardeversameling van g: (–4, ∞).  
4.5 f se x-afsnit: (1, 0) en y-afsnit: (0, –½).  
4.6 Die simmetrie-as van f met negatiewe gradiënt is: y = –x – 1.
4.1 f(–3) = 4 4.2 g(x) = 4 when x = –3 4.3 f has vertical asymptote at x = –2 and horizontal asymptote at y = 1 4.4 Range of g is all real numbers greater than –4 (–4, ∞) 4.5 f intersects the x-axis at (1, 0) and the y-axis at (0, –½) 4.6 The symmetry axis of f with a negative gradient is y = –x – 1

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Pre Calculus Questions