2. Теңсіздікті шешініз: $$ \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right) \geq 1 $$ $$ \left[-\frac{\pi}{2}+2 \pi n ; \frac{\pi}{2}+2 \pi n\right], n \in \mathbb{Z} $$ 3) $$ \left[-\frac{\pi}{6}+2 \pi n ; \frac{\pi}{3}+2 \pi n\right), n \in \mathbb{Z} $$ c) $$ \left(-\frac{\pi}{6}+2 \pi n ; \frac{\pi}{3}+2 \pi n\right], n \in \mathbb{Z} $$ ) $$ \left[-\frac{\pi}{6}+\pi n ; \frac{\pi}{3}+\pi n\right), n \in \mathbb{Z} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Решим неравенство $$ \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right) \geq 1 $$.

1. Начнем с того, что $$ \operatorname{tg}(y) \geq 1 $$ означает, что $$ y $$ находится в интервале:
   $$
   y \in \left[\frac{\pi}{4} + k\pi; \frac{3\pi}{4} + k\pi\right], \quad k \in \mathbb{Z}
   $$

2. Подставим $$ y = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} $$:
   $$
   \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \in \left[\frac{\pi}{4} + k\pi; \frac{3\pi}{4} + k\pi\right]
   $$

3. Теперь решим два неравенства:

- Для левой части:
   $$
   \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \geq \frac{\pi}{4} + k\pi
   $$
   $$
   \frac{x}{2} \geq \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + k\pi
   $$
   $$
   \frac{x}{2} \geq \frac{3\pi - 4\pi}{12} + k\pi = -\frac{\pi}{12} + k\pi
   $$
   $$
   x \geq -\frac{\pi}{6} + 2k\pi
   $$

- Для правой части:
   $$
   \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \leq \frac{3\pi}{4} + k\pi
   $$
   $$
   \frac{x}{2} \leq \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + k\pi
   $$
   $$
   \frac{x}{2} \leq \frac{9\pi - 4\pi}{12} + k\pi = \frac{5\pi}{12} + k\pi
   $$
   $$
   x \leq \frac{5\pi}{6} + 2k\pi
   $$

4. Объединим оба неравенства:
   $$
   -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \leq x \leq \frac{5\pi}{6} + 2k\pi
   $$

5. Таким образом, решение неравенства:
   $$
   x \in \left[-\frac{\pi}{6} + 2k\pi; \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\right], \quad k \in \mathbb{Z}
   $$

Теперь сравним с предложенными вариантами:

- a) $$ \left[-\frac{\pi}{2}+2 \pi n ; \frac{\pi}{2}+2 \pi n\right], n \in \mathbb{Z} $$
- b) $$ \left[-\frac{\pi}{6}+2 \pi n ; \frac{\pi}{3}+2 \pi n\right), n \in \mathbb{Z} $$
- c) $$ \left(-\frac{\pi}{6}+2 \pi n ; \frac{\pi}{3}+2 \pi n\right], n \in \mathbb{Z} $$
- d) $$ \left[-\frac{\pi}{6}+\pi n ; \frac{\pi}{3}+\pi n\right), n \in \mathbb{Z} $$

Правильный ответ: $$ \left[-\frac{\pi}{6}+2 \pi n ; \frac{5\pi}{6}+2 \pi n\right], n \in \mathbb{Z} $$ (но такого варианта нет в списке).

Наиболее близкий вариант - это $$ \left[-\frac{\pi}{6}+2 \pi n ; \frac{\pi}{3}+2 \pi n\right), n \in \mathbb{Z} $$, но он не полностью соответствует.

Таким образом, правильный ответ не представлен в предложенных вариантах.
Решение неравенства $$ \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right) \geq 1 $$ дает интервал $$ x \in \left[-\frac{\pi}{6} + 2k\pi; \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\right], k \in \mathbb{Z} $$. Предложенные варианты не полностью соответствуют этому интервалу.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Trigonometry Questions