9. Considera, num referencial o.n. \( x O y \), os pontos e \( A(6,-1) \) e \( B(-k+1,-3) \), com \( k \in \mathbb{R} \). Determina os valores de \( k \), para os quais o ponto \( P(-2,3) \) pertence à mediatriz de \( [A B] \).

Para resolver esta questão, primeiramente, devemos encontrar a mediatriz do segmento de reta \( [AB] \). A mediatriz é a reta que passa pelo ponto médio \( M \) de \( A \) e \( B \) e é perpendicular ao segmento \( [AB] \). Os pontos são: - \( A(6, -1) \) - \( B(-k + 1, -3) \) O ponto médio \( M \) é dado por: \[ M = \left( \frac{6 + (-k + 1)}{2}, \frac{-1 + (-3)}{2} \right) = \left( \frac{7 - k}{2}, -2 \right). \] Agora, computamos o coeficiente angular da reta \( AB \) (denotado como \( m_{AB} \)): \[ m_{AB} = \frac{-3 - (-1)}{-k + 1 - 6} = \frac{-2}{-k - 5} = \frac{2}{k + 5}. \] A mediatriz será perpendicular a \( AB \), portanto, seu coeficiente angular \( m_{\text{mediatriz}} \) será: \[ m_{\text{mediatriz}} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{k + 5}{2}. \] Agora, a equação da mediatriz na forma ponto-inclinação é: \[ y - (-2) = m_{\text{mediatriz}}(x - \frac{7-k}{2}), \] ou seja: \[ y + 2 = -\frac{k + 5}{2} \left( x - \frac{7 - k}{2} \right). \] Isolando \( y \): \[ y = -\frac{k + 5}{2} x + \frac{k + 5}{2} \cdot \frac{7 - k}{2} - 2. \] Para que o ponto \( P(-2, 3) \) pertença à mediatriz, precisamos substituir \( x = -2 \) e \( y = 3 \) na equação e resolver para \( k \): \[ 3 = -\frac{k + 5}{2}(-2) + \frac{(k + 5)(7 - k)}{4} - 2. \] Simplificando: \[ 3 = (k + 5) + \frac{(k + 5)(7 - k)}{4} - 2, \] \[ 3 + 2 = k + 5 + \frac{(k + 5)(7 - k)}{4}, \] \[ 5 = k + 5 + \frac{(k + 5)(7 - k)}{4}, \] \[ 0 = k + \frac{(k + 5)(7 - k)}{4}. \] Multiplicando tudo por 4 para eliminar a fração: \[ 0 = 4k + (k + 5)(7 - k). \] Expandindo a expressão: \[ 0 = 4k + 7k + 35 - k^2 - 5k, \] \[ 0 = 6k - k^2 + 35. \] Rearranjando: \[ k^2 - 6k - 35 = 0. \] Resolveremos esta equação quadrática utilizando a fórmula de Bhaskara \( k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), onde \( a = 1 \), \( b = -6 \) e \( c = -35 \): \[ k = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35)}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 140}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{176}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{11}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{11}. \] Portanto, os valores de \( k \) que satisfazem a condição dada são: \[ k = 3 + 2\sqrt{11} \quad \text{ou} \quad k = 3 - 2\sqrt{11}. \] Esses são os valores pelos quais o ponto \( P(-2, 3) \) pertence à mediatriz do segmento \( [AB] \).