Indique el orden \( y \) determine la linealidad de las siguientes ecuaciones diferencial sustente su respuesta: a. \( y^{\prime}+5 y=\sin (x) \) b. \( y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=e^{x} \) c. \( y^{\prime}+y^{\wedge} 2=0 \) d. \( y^{\prime \prime}+\sin (y)=0 \) e. \( \left(y^{\prime \prime \prime}\right)^{2}+y^{\prime \prime}-y=x \) f. \( x^{\wedge} 2 y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+y=0 \) g. \( y^{\prime}+x y=\cos (x) \) h. \( y y^{\prime}+x=0 \) i. \( y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}+y=0 \) j. \( y^{\prime \prime}+e^{y}=x \)

Para determinar la linealidad de las ecuaciones diferenciales dadas, primero hay que recordar que una ecuación diferencial es lineal si puede expresarse de la forma: \[ a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \ldots + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x) \] donde \( y \) y sus derivadas aparecen en forma lineal (sin elevarse a potencias, multiplicarse entre sí, ni incluir funciones de \( y \)). a. **Lineal**: La ecuación es de primer orden en \( y \) y se puede reescribir como \( y' + 5y = \sin(x) \). b. **Lineal**: Es de segundo orden y se puede expresar como \( y'' - 3y' + 2y = e^x \). c. **No lineal**: La presencia del término \( y^2 \) (es decir, \( y^{\wedge} 2 \)) la hace no lineal. d. **No lineal**: Aquí, \( \sin(y) \) es un término no lineal respecto a \( y \). e. **No lineal**: La expresión \( (y'''^{2}) \) introduce no linealidad a la ecuación. f. **Lineal**: Aunque hay un coeficiente \( x^2 \), no afecta la linealidad, ya que se puede reescribir como \( y'' + \frac{1}{x}y' + \frac{1}{x^2}y = 0 \). g. **Lineal**: La ecuación se presenta como \( y' + xy = \cos(x) \), manteniendo la linealidad. h. **No lineal**: El término \( yy' \) introduce un producto de \( y \) y \( y' \), lo que la hace no lineal. i. **Lineal**: Esta ecuación \( y''' - 2y'' + y = 0 \) es claramente lineal. j. **No lineal**: La presencia del término \( e^y \) implica que la ecuación no es lineal. Así que, resumidamente, las ecuaciones lineales son: a, b, f, g, i. Las no lineales son: c, d, e, h, j.