In the opposite figure: $$ \overline{\mathrm{BC}} $$ is a diameter of the circle M , $$ \overline{\mathrm{MD}} \perp \overline{\mathrm{AB}} $$ where $$ \overline{\mathrm{MD}} \cap \overline{\mathrm{AB}}=\{\mathrm{D}\} $$ , $$ \mathrm{m}(\angle \mathrm{C})=40^{\circ} $$ and $$ \mathrm{AC}=8 \mathrm{~cm} $$. Find: $$ 1 \mathrm{~m}(\angle \mathrm{DMB}) $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. نظرًا لأن $$ \overline{BC} $$ قُطر للدائرة التي مركزها $$ M $$، فإن النقاط $$ B $$ و$$ C $$ تقع على الدائرة، ويقع المركز $$ M $$ في منتصف $$ \overline{BC} $$.

2. نلاحظ أن المثلث $$ ABC $$ موضوع على الدائرة بحيث يكون $$ \overline{BC} $$ قُطرها، وبحسب نظرية طاليس نحصل على:
$$
\angle A = 90^\circ.
$$

3. معطى أن $$ m(\angle C)=40^\circ $$، فإذا حسبنا:
$$
m(\angle B)=180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ.
$$

4. بما أن النقاط $$ A $$ و$$ B $$ تقعان على الدائرة، فإن القوس $$ \widehat{AB} $$ يُقابل الزاوية المنحوتة عند $$ C $$. وحسب نظرية الزاوية المكتوبة:
$$
m(\widehat{AB})=2 \, m(\angle C)=2 \times 40^\circ=80^\circ.
$$

5. من جهة مركز الدائرة $$ M $$ نحصل على الزاوية المركزية $$ \angle AMB $$ التي تقابل القوس $$ \widehat{AB} $$، إذن:
$$
m(\angle AMB)=80^\circ.
$$

6. نعلم أن المستقيم $$ \overline{MD} $$ ينزل عموديًا على $$ \overline{AB} $$ من مركز الدائرة، وبهذا يكون $$ D $$ وسط الوتر $$ \overline{AB} $$. في المثلث المتساوي الساقين $$ AMB $$ (حيث $$ MA=MB $$ لأنهما أنصاف أقطار الدائرة) يكون الارتفاع من الرأس $$ M $$ إلى الوتر قاعدة وكذلك منصفًا للزاوية عند $$ M $$. إذن:
$$
m(\angle AMD)=m(\angle DMB)=\frac{1}{2} \, m(\angle AMB)=\frac{80^\circ}{2}=40^\circ.
$$

7. بالتالي، الإجابة المطلوبة:
$$
m(\angle DMB)=40^\circ.
$$
$$ m(\angle DMB) = 40^\circ $$

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Geometry Questions